SCOI2010：生成字符串（组合数 + 思维）

最新推荐文章于 2019-01-13 12:42:00 发布

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解决一个编程挑战，计算由n个1和m个0组成的字符串数量，这些字符串满足特定条件：在任何前k个字符中1的数量不少于0的数量。通过计算合法与非法路径来找出答案。

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出格式：

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

输入输出样例

输入样例#1：复制

2 2

输出样例#1：复制

说明

limitation

每点2秒

对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000

对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

来源：SCOI 2010

思路：题解比较神奇的做法，想象一个二维坐标，初始在(0,0)点，目标在(n+m,n-m)点，每次只可以走右上或者走右下，分别代表选1和选0，显然不能走到第四象限，否则不满足任何前缀1不比0少。总的来说就是总方案数减去非法方案数，观察到每个非法方案都经过y=-1线，根据对称性，第一次到达y=-1的前面往下翻折，就相当于从(0,-2)出发到(n+m,n-m)。对于总方案数显然是C(n+m,n)，那么非法方案数呢？既然从(0,-2)出发，向右上走的就有n-m+2+[n+m-(n-m+2)]/2 = n+1步，那么非法方案数就是C(n+m,n+1)，模数是质数，可选择逆元推组合数。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 20100403;
const int maxn = 2000000;
LL inv[maxn+3] = {1,1}, fac[maxn+3] = {1,1}, fi[maxn+3] = {1,1};
void init()
{
    for(int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
        fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
        inv[i] = (mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        fi[i] = fi[i-1]*inv[i]%mod;
    }
}
LL C(LL n, LL m){return fac[n]*fi[m]%mod*fi[n-m]%mod;}
int main()
{
    init();
    LL n, m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n<m) puts("0");
    else printf("%lld\n",(C(n+m,n)-C(n+m,n+1)+mod)%mod);
    return 0;
}