P4774 [NOI2018] 屠龙勇士

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EXCRT的简单变式（解标准线性同余方程组）+multiset实现普通平衡树功能

Description

https://www.luogu.com.cn/problem/P4774

Solution

首先，由于小D按$1\sim n$顺序屠龙，故我们用一个multiset动态维护$S$（$S$：剑的攻击力），根据题意，面对第$i$条巨龙时，我们查询可重集内$a_i$的前驱并作为$S_i$（屠第$i$条龙所用剑的攻击力），若$a_i$无前驱则令$S_i=a_i$的后继。

当我们求出所有$S_i$后，将题意转化为数学语言即为：求最小的$x\ge ma{x}_{i=1}^n\lceil \frac{a_i}{s_i}\rceil$，使如下标准线性同余方程组成立：
​ $$\{\begin{array}{l}{s}_{1}x\equiv a_1(mod{p}_1)\\ s_{2}x\equiv a_2(mod{p}_2)\\ ......\\ s_{n}x\equiv a_n(mod{p}_n)\end{array}$$

（特判：由于我们必须把每一条龙的血量变成非正数后龙才会回血，故有上面$x$的取值范围）

虽然相比于$EXCRT$的标准形式，每一个线性同余方程前多了一个系数$s_i$，但类比$EXCRT$的推导过程，我们仍不难得出解该方程组的一般方法：

设前$i-1$个方程的通解为$x_0+t{P}_{i-1}$$(P=lcm(\frac{p_1}{gcd(p_1,s_1)},\frac{p_2}{gcd(p2,s_2)}...\frac{p_{i-1}}{gcd(p_{i-1},s_{i-1})}))$（此处注意：根据$EXCRT$内通解的推导及$gcd(s_i,p_i)|s_i$，我们可得$p_i|\frac{s_i{p}_i}{gcd(s_i,p_i)}$，故此处通解形式与$EXCRT$不同）则：对于第$i$个同余方程$s_{i}x\equiv a_i(mod{p}_i)$，$\exists t[s_i(x_0+t{P}_{i-1})\equiv a_i(mod{p}_i)]$即说明前$i$个同余方程组有解，反之则无解。

将$s_i(x_0+tP)\equiv a_i(mod{p}_i)$化成二元一次不定方程的形式：

$s_i{x}_0+s_{i}t{P}_{i-1}\equiv a_i(mod{p}_i)$

​$s_i{P}_{i-1}t+s_i{x}_0=p_{i}u+a_i$

​$s_i{P}_{i-1}t+p_{i}u=a_i-s_i{x}_0$

据Bézout定理，若$gcd(s_i{P}_{i-1},p_i)\nmid a_i-s_i{x}_0$，则原方程组无解，反之即用EXCGD解出上述方程的一组特解$t_0,u_0$，$t$的通解即可表示为$t=t_0+k\frac{p_i}{gcd(s_i{P}_{i-1},p_i)}$。

求出$t$后，前$i$个方程组的解$an{s}_i=x_0+t{P}_{i-1}+k{P}_i$。将此过程归纳即为求方程组解的一般过程。

最后，注意面对第$1$条龙时诸变量的取值。

总结：1、注重每一步推导过程的准确性；

​ 2、注意特判情况； 3、留意炸精度的地方并适当使用慢速乘。

Code

毕竟此题是近几年NOI的D2T1，故需要注意的细节不在少，详见如下代码。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN=2e5;
int T,N,M;
ll ai[MAXN],pi[MAXN],fsts[MAXN],gives,si[MAXN];
ll atktot,maxatk,atkstep,A,B,C,ans,P,Pi,G,x,y,xi,yi;
multiset<ll>S;

ll Max(ll a,ll b) { return ((a>b)?(a):b); }
ll Gcd(ll a,ll b) { return ((b==0)?a:Gcd(b,a%b)); }
ll Lcm(ll a,ll b) { return (a/Gcd(a,b))*b; }
ll Msc(ll a,ll b,ll MOD)
{
	ll tot=0;
	for(;b;b>>=1,a=(a+a)%MOD)
		if(b&1)	tot=(tot+a)%MOD;
	return tot;
}

void Exgcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0) { x=1,y=0; return; }
	Exgcd(b,a%b);
	xi=x,yi=y;
	x=yi,y=xi-(a/b)*yi;
}

ll Excrt()
{
	ans=0LL; P=1LL; maxatk=0LL;
	for(int i=1;i<=N;++i)
	{
		atktot=ai[i]/si[i];
		if(ai[i]%si[i]>0)	++atktot;
		maxatk=Max(maxatk,atktot);//此三句：判断至少需攻击maxatk次（因为最后线性同余方程的解有可能小于maxatk，不合法） 
		A=si[i]*P,B=pi[i],C=ai[i]-si[i]*ans;
		G=Gcd(A,B);
		if(G<0)	G=-G;//便于使用第一次慢速乘 
		if(C%G!=0)	return -1;
		Exgcd(A,B);
		x=(x%(B/G)+(B/G))%(B/G);//将x变为正数便于Msc 
		x=(Msc(C/G,x,(B/G))+(B/G))%(B/G);//注意：ax+by=c通解形式下步长与ax+by=g一致！（此处会爆longlong，需龟速乘） 
		if(x==0)	x=B/G;//x不能为0 
		Pi=Lcm(P,B/Gcd(B,si[i]));//注意：通解不再是X0+kLcm(p1,p2...pn) 
		if(i==1)	ans=x;
		else	ans=(ans+Msc(P,x,Pi))%Pi;
		P=Pi;
		ans=(ans%P+P)%P;
		if(ans==0)	ans=P;//ansx不能为0且不能小于将每条龙砍成负血的最小刀数
	}
	if(ans<maxatk)//特判 
	{
		atkstep=(maxatk-ans)/P;
		ans+=atkstep*P;
		if((maxatk-ans)%P>0)	ans+=P;
	}
	return ans;
}

void work()
{
	S.clear();
	scanf("%d%d",&N,&M);
	for(int i=1;i<=N;++i)	scanf("%lld",&ai[i]);
	for(int i=1;i<=N;++i)	scanf("%lld",&pi[i]);
	for(int i=1;i<=N;++i)	scanf("%lld",&fsts[i]);
	for(int i=1;i<=M;++i)
	{
		scanf("%lld",&gives);
		S.insert(gives);
	}
	for(int i=1;i<=N;++i)
	{
		if(S.upper_bound(ai[i])!=S.begin())	si[i]=*--S.upper_bound(ai[i]);
		else	si[i]=*S.upper_bound(ai[i]);
		S.erase(S.find(si[i]));
		S.insert(fsts[i]);
	}
	cout<<Excrt()<<'\n';
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for(int i=1;i<=T;++i)	work();
	return 0;
}