10.12Python数学基础-行列式（下）

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#python #线性代数 #矩阵

于 2024-10-12 16:49:11 首次发布

6.代数余子式

余子式：

给定一个 n×n的矩阵 A，其第 i 行第j 列的元素 aij的余子式 Mij是指去掉第i行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式。

具体步骤如下：

选择元素：选择矩阵 AA 中的一个元素 aij。
构造余子矩阵：去掉矩阵 AA 的第 i 行和第 j 列，得到一个 (n−1)×(n−1) 的子矩阵。
计算行列式：计算这个 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式，这个行列式就是元素 aij 的余子式 Mij。

余子式的一个重要应用是计算行列式的值。行列式 det⁡(A)可以通过任意一行或一列的元素与其对应的余子式和代数余子式的乘积之和来计算。

例如，对于一个 3×3的矩阵 A：
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$
元素 a11 的余子式 M11是去掉第 1 行和第 1 列后得到的 2×2子矩阵的行列式：
$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$
计算这个 2×2 行列式的值：
$M_{11}=a_{22}a_{33}−a_{23}a_{32}$
类似地，可以计算其他元素的余子式。

代数余子式：

给定一个 n×n 的矩阵 A，其第i行第j列的元素 aij 的代数余子式 Cij定义为：
$C_{ij}=(−1)^{i+j}⋅M_{ij}$
其中，Mij是元素 aij 的余子式，即去掉矩阵 A的第i 行和第 j 列后得到的 (n−1)×(n−1子矩阵的行列式。

具体步骤如下：

选择元素：选择矩阵 A 中的一个元素 aij。
构造余子矩阵：去掉矩阵 A 的第i 行和第 j 列，得到一个 (n−1)×(n−1)的子矩阵。
计算行列式：计算这个 (n−1)×(n−1)子矩阵的行列式，这个行列式就是元素 aij 的余子式 Mij。
计算代数余子式：根据公式
$C_{ij}=(−1)^{i+j}⋅M_{ij}$
计算代数余子式。

代数余子式的一个重要应用是计算行列式的值。根据拉普拉斯展开定理，行列式 det⁡(A)可以通过任意一行或一列的元素与其对应的代数余子式的乘积之和来计算。

例如，对于一个 3×3的矩阵 A：
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$
元素 a11的代数余子式 C11是：
$C_{11}=(−1)^{1+1}⋅M_{11}=M_{11}$
其中，余子式 M11是去掉第 1 行和第 1 列后得到的 2×2子矩阵的行列式：
$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
因此，代数余子式 C11 为：
$C_{11}=a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
类似地，可以计算其他元素的代数余子式。

例：

计算行列式
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 7 \\ 8 & -1 & 16 \end{vmatrix}$
中元素a11和a23的代数余子式。
$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ -1 & 16 \end{vmatrix}$

$C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & -1 \end{vmatrix}$

拉普拉斯展开定理：

行列式等于它的某一行元素与其代数余子式的乘积之和。

行列式按第i 行展开的公式为：
$det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}=\Sigma _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}$
其中，A 是一个 n×n 的矩阵，aij是矩阵 A的第 i行第 j列的元素，Cij是元素 aij的代数余子式。

代数余子式 Cij的定义为：
$C_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij}$
其中，Mij 是元素 aij 的余子式，即去掉矩阵 A 的第 i 行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1)子矩阵的行列式。

类似地，行列式也可以按第j列展开：
$det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+...+a_{nj}C_{nj}=\Sigma _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}$
下面通过一个具体的例子来说明如何使用行列式按一行（列）展开定理。

假设有一个 3×3 的矩阵 A：
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$
我们按第 1 行展开行列式：
$det⁡(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}$