python之行列式

人活着不是单靠食物。 《圣经》

1.对于一个ｎ×ｎ矩阵Ａ,均可对应一个标量ｄｅｔ(A)，它的值将告诉我们矩阵是否为非奇异的。

2. 令Ａ= (a_ij )为一n×n矩阵，并用M_ij表示删除A中a_ij的行和列得到的（n-1）×（n-1）矩阵，矩阵M_ij的行列式称为a_ij的子式，定义a_ij的余子式A_ij为

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}det(M_{ij})$$

3. 设A为一n×n矩阵，则det(A^T) = det(A)

4.行列式求值

from numpy.linalg import *
import numpy as np
'''
计算
| 2  1  2 1|
| 3  0  1 1|
| -1 2 -2 1|
| -3 2  3 1|
的行列式的值
'''
arr = np.array([[2, 1, 2, 1],
                [3, 0, 1, 1],
                [-1, 2, -2, 1],
                [-3, 2, 3, 1]])

print(det(arr))

5.行列式的性质

1. 交换矩阵的两行（两列）改变行列式的符号

2. 矩阵的某行或列乘以一个标量的作用是将行列式乘以这个标量

3. 将某行（或列）的倍数加载其他行（或列）上不改变行列式的值。

6. 一个n×n矩阵A是奇异的充要条件为：det(A) = 0

7.令A为一n×n矩阵。我们定义一个新矩阵，称为矩阵A的伴随（adjoint）,要构建伴随矩阵，只需将原来的矩阵元素用它们的余子式替换，然后将结果矩阵转置:

$$A^{-}=\frac{1}{det(A)}adjA$$

8.克拉默法则

$$\begin{gathered} 令A为一n\times n非奇异矩阵，并令b\in R^n.令A_i将矩阵A中的第i列用b替换得到 \\ 的矩阵。若x为方程组Ax=b的唯一解，则x_i=\frac{det(A_i)}{det(A)},i=1,2,3,4 \end{gathered}$$