48、电路下界算法方法的局限性探讨

电路下界算法方法的局限性探讨

1. 典型示例

在计算复杂性理论中，有一个典型的例子与电路下界问题相关。对于任意给定的常数 (d > 0)，存在一个属于 (\Sigma_p^2 \cap \Pi_p^2) 的集合，它不具有 (n^d) 规模的电路，即 (\Sigma_p^2 \cap \Pi_p^2 \not\subseteq SIZE[n^d])。以下是对该定理的证明概要：
- 首先，可以构造一个属于 (\Sigma_p^4)（实际上是 (\Delta_p^3)）的集合 (L_0)，它不在 (SIZE[n^2]) 中。
- 对于标准的 NP 完全集，如 SAT，分两种情况讨论：
- 若 SAT 没有多项式规模的电路，即 (SAT \notin PSIZE)，那么 SAT 本身就是满足定理的集合。
- 若 SAT 有多项式规模的电路，根据 Karp 和 Lipton 的定理，多项式时间层次 (PH = \cup_{k\geq1}\Sigma_p^k) 会坍缩到 (\Sigma_p^2 \cap \Pi_p^2)，此时前面构造的集合 (L_0) 就在 (\Sigma_p^2 \cap \Pi_p^2) 中，所以 (L_0) 是所需的集合。

这个证明考虑了 SAT 的电路复杂性的两种情况，并为每种情况使用了不同的集合作为见证。这引发了一个问题：是否需要这种额外的知识（SAT 的电路复杂性）来定义一个计算困难的问题，以及是否可以用算法的方式来定义 (\Sigma_p^2 \cap \Pi_p^2) 中的困难问题。

2. 算法设计

2.1 定理 2

对于任意常数 (d > 0)，存在一个 (