27、有限域Fq上码的统计解码

有限域Fq上码的统计解码

1. 引言

随着量子计算机的发展，传统的加密系统面临着巨大的挑战。1994年Shor提出的攻击方法表明，一旦有足够强大的量子计算机，整数分解和离散对数问题可以在多项式时间内解决。而基于码的密码学成为了后量子密码学的一个极具潜力的候选方案，它能够抵御量子计算机的攻击。最早的基于码的密码系统是1978年发布的McEliece加密方案，它和RSA一样古老，并且至今仍能抵抗密码分析（除了参数调整）。

统计解码在2001年由Al Jabri引入，并在2006年由Overbeck进行了改进。虽然Al Jabri声称统计解码可以有效地攻击McEliece密码系统，但Overbeck指出所需的预计算量远远超过了Al Jabri的预期，因此与其他类型的攻击相比，时间和内存要求都要高得多。不过，统计解码对于短码（即长度n较小的码）非常有效，甚至比基于信息集解码（ISD）或广义生日算法的攻击还要快。

本文的贡献在于将Overbeck的二进制统计解码算法推广到非二进制有限域Fq上的码，从理论和实验上分析了算法的成功概率，并表明该概率似乎与有限域Fq的大小无关。此外，还简要描述了两种利用底层码或解的额外结构来提高算法效率的技术。

2. 预备知识和符号表示

• 线性码 ：长度为n、维度为k的线性码C是有限域Fq上n维向量空间Fnq的一个k维子空间，记为(n, k)码。
• 生成矩阵和校验矩阵 ：满秩矩阵G∈Fk×nq是(n, k)码C的生成矩阵，当且仅当C = {mG : m∈Fkq}。C的校验矩阵H是任意满秩矩阵H∈F(n - k)