33、随机在线算法硬度结果获取技术与整数上的积分差比函数

随机在线算法硬度结果获取技术与整数上的积分差比函数

1 随机在线算法相关研究

1.1 带建议的在线算法特性

• 时间复杂度问题 ：若 $m(n)$ 相对于输入长度 $n$ 很大，带建议的在线算法 $A$ 即使在随机在线算法 $R$ 高效的情况下，也无法在多项式时间内运行。这是因为算法 $A$ 需要构建整个矩阵 $M$，而 $M$ 依赖于 $n$，$n$ 是建议的一部分，算法 $A$ 事先并不知道。
• 竞争比差异 ：带建议的在线算法 $A$ 通常比原始随机在线算法 $R$ 差，即便差异很小。以一个在线问题为例，输入 $I = (x_1, \ldots, x_n)$ 以 $x_1 = 0$ 开始，其余请求 $x_i \in {0, 1}$（$2 \leq i \leq n$），答案 $y_i \in {0, 1}$（$1 \leq i \leq n - 1$）。若对于所有 $1 \leq i \leq n - 1$ 都有 $y_i = x_{i + 1}$，则对应解的总成本为 $1$，否则为 $2$。最优算法成本为 $1$，其他算法成本为 $2$。最佳随机在线算法每个答案取 $0$ 或 $1$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$，使用 $n - 1$ 个随机比特，其期望竞争比不大于 $2 - \frac{1}{2^{n - 1}}$。而使用少于 $n - 1$ 个建议比特的带建议在线算法，竞争比至多为 $2$。这表明存在一些问题，使得带建议的在线算法所需的建议比特数与随机在线算法所需的随机比特数相同，否则性能更差。
• 问题类型拓展