71、从强平均情况硬度构建细粒度单向函数

从强平均情况硬度构建细粒度单向函数

1. 引言

在计算复杂性领域，平均情况复杂性的研究旨在刻画那些不仅在最坏情况下输入困难，而且在输入的自然分布下也困难的NP问题。Impagliazzo在1995年提出了著名的“五个世界”观点，描述了复杂性理论中可能存在的五种情况，分别是Algorithmica、Heuristica、Pessiland、Minicrypt和Cryptomania。

• Algorithmica和Heuristica ：可看作“算法学家的仙境”，在这些世界中，所有NP语言都能在平均情况下被高效判定。
• Cryptomania和Minicrypt ：可看作“密码学家的仙境”，存在单向函数，进而可以实现流密码、签名、伪随机函数等。
• Pessiland ：被描述为“所有可能世界中最坏的世界”，许多NP问题即使在自然实例上也难以处理，但却不存在单向函数，也就没有密码学。

我们研究的问题是，平均情况困难的NP问题是否能推出单向函数的存在。若答案是肯定的，就排除了Pessiland的可能性，实现一种双赢局面：要么所有NP问题都能在平均情况下被高效解决，要么存在密码学单向函数。然而，在过去的二十五年里，这个问题进展甚微。已知从平均情况困难的NP问题构造单向函数必须依赖非黑盒技术。

2. 平均情况硬度与单向函数的相关情况

在复杂性理论的层次结构中，底部更强的指数最坏情况假设意味着avgP ≠ DistNP；顶部指数安全的单向函数意味着存在一种弱但有用的公钥