74、基于强平均情况硬度构建精细粒度单向函数的相关证明

基于强平均情况硬度构建精细粒度单向函数的相关证明

1. 哈希技巧与相关处理

在某些操作中，可通过直接的并行放大来移除特定元素，具体是对许多对 $(f_k, y)$ 查询 Inv ，其中 $f_i$ 是 $f$ 的功能等价变体（此时对应的 $h_k = H[i, f_k, y]$ 按构造是独立随机的）。虽然也可以将“真正的”随机性硬编码到 Inv 中，而不使用哈希技巧，但哈希技巧能实现压缩论证，原因如下：
- 哈希函数独立于 $W$ 和 $B$ 进行采样。
- 仅知道集合中的单个元素以及集合 $S$ 的大小，就可以模拟采样。

2. 证明定理 16

2.1 目标与步骤

固定函数 $\ell: N \to N$、电路族 $C$ 和整数 $n \in N$，目标是界定在 $\vec{x} \leftarrow_R {0, 1}^{\ell(n) \cdot n}$ 和 $(O, Inv) \leftarrow_R T$ 的选择下，$C_{O,Inv}^n(\vec{x}) = L_O(\vec{x})$ 的概率，分两步进行：
1. 证明一个模拟引理，存在一个显式算法 EmuO ，它不调用预言机 Inv ，而是使用关于 $(W, B, H)$ 的部分信息 $g(W, B, H)$ 来模拟 $C_{O,Inv}^n$。即 EmuO $(\vec{x}, g(W, B, H)) = C_{O,Inv}^n(\vec{x})$，且 Emu 对 $O$ 的查询次数