10、有限自动机确定化膨胀问题研究

有限自动机确定化膨胀问题研究

在自动机理论中，非确定有限自动机（NFA）到确定有限自动机（DFA）的转换是一个基础且重要的研究领域。本文聚焦于等长语言的NFA确定化问题，探讨了该过程中的状态膨胀问题。

1. 有限自动机与图像表示

考虑一个 $2^l \times 2^l$ 的图像（$l \geq 0$），图像中的每个像素可以由长度为 $l$ 的字符串来标识，该字符串基于四符号字母表 $\Sigma = {a, b, c, d}$。字符串中的每个后续符号会选择图像进一步细分后的四个象限之一。任何黑白图像都可以用 $\Sigma$ 上的形式语言来描述，且所有字符串长度均为 $l$，这种语言被称为等长语言。

本文主要研究两种有限自动机对等长语言的表示：确定性有限自动机（DFA）和非确定性有限自动机（NFA）。

• 确定性有限自动机（DFA） ：一个DFA是一个五元组 $A = (\Sigma, Q, q_0, \delta, F)$，其中：
• $\Sigma$ 是输入字母表；
• $Q$ 是有限状态集；
• $\delta: Q \times \Sigma \to Q$ 是全转移函数；
• $q_0 \in Q$ 是初始状态；
• $F \subseteq Q$ 是接受状态集。

对于输入字符串 $w = a_1 \cdots a_l$（$l \geq 0$，$a_i \in \Sigma$），自动机的计算是一个唯一确定的状态序列 $p_0, p_1, \cdots, p_l$，其中 $p_0