24、约化幂自动机的研究与分析

约化幂自动机的研究与分析

1. 研究动机

在自动机理论中，传递半自动机的接受语言具有一些特殊性质，如阶乘性、可扩展性和传递性（FET）。对于这类语言，有两种衡量状态复杂度的方式：一种是标准最小确定有限自动机（DFA）的大小 $\mu(L)$，另一种是最小Fischer自动机的大小 $\mu_F(L)$。通常情况下，除了 $L = \Sigma^*$ 这种平凡情况，有 $\mu_F(L) \leq \mu(L) - 1$，并且在已知标准最小DFA的情况下，可以在线性时间内计算出最小Fischer自动机。

然而，计算 $\mu(L)$ 或 $\mu_F(L)$ 存在一个基本障碍，因为这些语言通常以非确定传递半自动机 $A$ 的形式给出。若半自动机的大小为 $n$，则 $\mu_F(L) \leq \mu(L) - 1$ 且 $\mu(L) \leq 2^n$，因为 $A$ 的Rabin - Scott幂自动机的可达部分 $pow(A)$ 的大小至多为 $2^n$，记 $\pi(A)$ 为该自动机的大小。虽然可以从 $pow(A)$ 在多项式时间内构造出最小自动机，但确定 $\pi(A)$ 是否小于给定界限是PSPACE难的，所以没有可行的计算捷径能在不实际构造机器的情况下确定幂自动机的大小。

在一维细胞自动机的研究中，会出现一些特殊的语言。细胞自动机可以表示为一个局部映射 $\rho : \Sigma^w \to \Sigma$，它自然地扩展为字母表 $\Sigma$ 上双无限字的全局映射。配置的覆盖是其所有有限因子的集合，$cov(\rho)$ 是所有配置 $\rho(X)$ 的覆盖的并集，是一个正则语言，其自然半自动机是de Bruijn自动机 $B(\rho)$，状态集为 $\