36、下推自动机的帕里克映像与热带多项式相关问题研究

下推自动机的帕里克映像与热带多项式相关问题研究

1. 下推自动机与上下文无关文法的转换

在自动机理论中，下推自动机（PDA）和上下文无关文法（CFG）是重要的概念。对于一个PDA (P)，设存在一个CFG (G)使得 (L(G) = L(P))。生成长度为 (\ell) 的单个单词的最小CFG的大小为 (\Omega(\log(\ell)))，由此可知 (G) 的大小为 (\Omega(\log(2n^2k)) = \Omega(n^2k))，当 (k = p - 2n - 4) 时，(G) 有 (\Omega(n^2 (p - 2n - 4))) 个变量。

根据经典转换算法，与 (P(n, k)) 等价的每个CFG最多需要 (n^2(k + 2n + 4) + 1 \in O(n^2k + n^3)) 个变量。而理论表明变量数量的下界是 (\Omega(n^2k))。当 (n \leq Ck)（(C) 为正常数）时，转换算法在变量数量上是最优的；否则，算法不是最优的，因为上下界之间存在差距。

对于一元确定性下推自动机（UDPDA），情况有所不同。之前的研究表明，对于具有 (n) 个状态和 (p) 个栈符号的UDPDA，存在一个等价的CFG，其变量最多为 (2np) 个，但未给出具体算法。也有研究给出了将UDPDA转换为等价CFG的多项式时间算法，通过构建一对直线程序实现，得到的CFG大小与UDPDA呈线性关系。

这里提出了一种新的多项式时间算法，将具有 (n) 个状态和 (p) 个栈符号的UDPDA转换为等价的CFG，其变量最多为 (O(np)) 个。该算法基于这样的观察：从PDA到CFG的转换算法不需要考虑所有的三元组。通过饱和过程计算可达ID集合，从而丢