7、量子计算与互无偏基：基于韦尔奇界的研究

量子计算与互无偏基：基于韦尔奇界的研究

1. 量子计算中的G(A, B)门与复杂度

在量子计算里，G(A, B)门有着独特的性质。像SWAP = G(I, X)，不过仅因det X = -det I中的负号而有所不同。要是去掉等式(1)里detA = detB这个条件，作用于最近邻（n.n.）线路的G(A, B)门就能高效地实现量子计算的通用性。

从复杂度理论的角度来看，把G(A, B)门的使用范围从最近邻拓展到次近邻，同时还保持经典可模拟性，这种可能性是极低的。因为若能实现，经典复杂度类NP和PP就会变成经典多项式时间可判定的，也就是P = NP = PP（还有P = BQP）。所以，在一般匹配门电路中，将最近邻2 - 量子比特G(A, B)门的作用范围扩展一个距离，就必然会带来超越经典的额外计算能力，前提是这些经典计算复杂度类并不相等。

2. 互无偏基（MUBs）的基本概念

互无偏基（MUBs）在希尔伯特空间$C^n$中的定义为一组正交基${B_0, B_1, …, B_r}$，对于任意两个向量$x \in B_i$，$y \in B_j$（$i \neq j$），它们的标量积的绝对值$|\langle x|y\rangle|$等于$\frac{1}{\sqrt{n}}$。为了简便，我们把两个向量标量积的绝对值称为这两个向量之间的“夹角”。通常会把基中的向量组合成矩阵，若两个酉矩阵的列向量所构成的基满足上述条件，就称这两个酉矩阵是互无偏的。

MUBs有着广泛的应用，比如量子态确定、量子密码学（像Bennet和Brassard提出的BB84协议）、Mean King问题以及Wigner函数等。当空间维度$n = 1$时，任意数量的单位