7、金融中的布莱克 - 斯科尔斯期权定价方程解析

金融中的布莱克 - 斯科尔斯期权定价方程解析

1. 布莱克 - 斯科尔斯偏微分方程推导

在考虑连续股息支付的情况下，基于之前的论证，可以推导出布莱克 - 斯科尔斯偏微分方程（PDE）：
[
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r - q)S \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0
]

1.1 鞅方法与期权定价

基于鞅的性质，我们可以给出布莱克 - 斯科尔斯期权定价 PDE 的另一种推导方法。在由风险中性几何布朗运动（GBM）模型定义的定价问题中，对于贴现期权价格，满足鞅性质：
[
\frac{V (t_0, S)}{M(t_0)} = E^Q \left[ \frac{V (T, S)}{M(T)} \big| F(t_0) \right]
]
其中，$M(t_0)$ 是时间 $t_0$ 时的储蓄账户，$M(t_0) = 1$，$F(t_0) = \sigma(S(s); s \leq t_0)$。

假设存在可微函数 $\frac{V (t,S)}{M(t)}$，使得：
[
E^Q \left[ \frac{V (T, S)}{M(T)} \big| F(t) \right] = \frac{V (t, S)}{M(t)}
]

使用 $M \equiv M(t)$ 和 $V \equiv V (t, S)$，贴现期权价值 $\frac{V}{M}$ 应为鞅