21、金融数学中的数值方法与决策变体排序

金融数学中的数值方法与决策变体排序

在金融数学领域，数值方法的应用对于解决期权定价等问题至关重要。同时，在决策分析中，如何对决策变体进行合理排序也是一个关键问题。本文将介绍一种用于解决布莱克 - 斯科尔斯方程的高效高阶 L - 稳定方法，以及在不完全数据情况下通过主观成对比较对决策变体进行排序的方法。

布莱克 - 斯科尔斯模型的高阶 L - 稳定方法

问题背景

布莱克 - 斯科尔斯方程是期权定价中的重要方程，用于确定欧式看涨期权的价值。其方程形式为：
[
\frac{\partial C}{\partial \zeta} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0
]
其中，(\zeta) 是当前时间，(T) 是到期时间，(C) 表示看涨期权的价值，(E) 是执行价格，(S) 是标的资产的价格，(\sigma) 是其波动率，(r) 是连续复利无风险利率。

线方法（MOL）半离散化

线方法（MOL）是一种用于数值求解包含时间变量和一个或多个空间变量的偏微分方程（PDE）的方法。其步骤如下：
1. 空间导数离散化 ：将关于空间变量的偏导数离散化，得到一个近似的常微分方程（ODE）系统。对于线性 PDE，MOL 方法会得到一个近似的线性非齐次 ODE 系统，其解满足一个涉及矩阵指数函数的两项递推关系。
2. 矩阵指数函数的近似 ：不同的近似方法会