20、椭圆曲线标量乘法与NFC协议安全分析

椭圆曲线标量乘法与NFC协议安全分析

在当今的数字世界中，加密技术对于保护数据安全至关重要。椭圆曲线密码学（ECC）作为一种高效的加密方式，在智能卡等低资源设备中得到了广泛应用。同时，近场通信（NFC）协议也在移动支付、优惠券等领域发挥着重要作用。本文将深入探讨椭圆曲线标量乘法的安全问题以及NFC协议的形式化安全分析。

椭圆曲线密码学基础

• 椭圆曲线定义 ：对于素数 $p > 3$，椭圆曲线 $E$ 由短魏尔斯特拉斯方程 $y^2 = x^3 + ax + b$ 定义，其中 $x, y, a, b \in F_p$ 且 $4a^3 + 27b^2 \neq 0$。椭圆曲线上的所有点与无穷远点 $O$ 构成一个阿贝尔群 $E(F_p)$。
• 坐标表示 ：为了减少标量乘法中的求逆运算，我们使用雅可比坐标 $(X : Y : Z)$ 来表示点。在雅可比坐标下，短魏尔斯特拉斯方程变为 $Y^2 = X^3 + aXZ^4 + bZ^6$，无穷远点 $O = (1 : 1 : 0)$。
• 点的运算 ：
  • 加法 ：两个点 $P = (X_p : Y_p : Z_p)$ 和 $Q = (X_q : Y_q : Z_q)$ 的和 $P + Q = (X_{p+q} : Y_{p+q} : Z_{p+q})$ 由以下公式计算：
    [
    \begin{cases}
    X_{p+q} = F^2 - E^3 - 2AE^2 \
    Y_{p+q} =