2、密码学数学基础：集合与函数的深入解析

密码学数学基础：集合与函数的深入解析

1 数学背景概述

在研究密码算法攻击时，理解算法各步骤的计算过程至关重要，这需要掌握抽象代数、线性代数、编码理论和概率论等数学概念。下面将详细介绍集合和函数的相关基础知识。

2 集合的基本概念

2.1 集合的定义与表示

集合是由无重复对象组成的集合体，通常用大写字母表示。例如，$A = { 0, 1, 2 }$ 是由三个数字组成的集合，$B = { ◦, Δ, □}$ 是由三种形状组成的集合。集合 $S$ 中的对象称为 $S$ 的元素。若元素 $a$ 在集合 $S$ 中，记作 $a \in S$；若不在，则记作 $a \notin S$。没有元素的集合称为空集，记作 $\varnothing$。集合 $S$ 中元素的总数称为 $S$ 的基数，记作 $|S|$。

2.2 集合间的关系

• 子集 ：若集合 $S$ 中的任意元素也是集合 $T$ 中的元素，则称 $S$ 是 $T$ 的子集，记作 $S \subseteq T$。
• 集合相等 ：若 $S \subseteq T$ 且 $T \subseteq S$，则称 $S$ 和 $T$ 相等，记作 $S = T$。
• 幂集 ：集合 $S$ 的幂集是 $S$ 的所有子集组成的集合，记作 $2^S$。根据定义，对于任何集合 $S$，有 $S \in 2^S$，$\varnothing \in 2^S$，且 $\varnothing \subseteq S$。