5、线性系统解中的病态问题

线性系统解中的病态问题

1. 病态系统示例

在Python中，我们可以通过以下代码展示线性系统解对微小变化的敏感性：

import numpy as np
# 假设d和F已经定义
g = d.copy()
g[-1] += 1e-5
z = np.linalg.solve(F, g)
print('z = \n', z)
print('||x-z||_2 = \n', "%20.16e"% np.linalg.norm(x-z, 2))

运行上述代码后，我们发现即使对向量进行了微小的改变，线性系统的解也会发生巨大的变化。这表明该线性系统是病态的。

2. 不适定系统的更多示例

这里考虑两个最小二乘逼近问题。

2.1 示例3.3：使用范德蒙德矩阵进行回归系数计算

目的是找到回归系数 $\alpha_8, \cdots, \alpha_0$，使得 $W = \sum_{j=0}^{9} \alpha_j H^j$ 是最小二乘解。

MATLAB代码 ：

H = [1.65, 1.67, 1.68, 1.72, 1.77, 1.82, 1.86, 1.89, 1.9]';
W = [57, 61, 64, 69, 75, 83, 90, 97, 100]';
V = vander(H);
A = V'*V;
b = V'*W;
x = A\b;

运行