20、广义Brezing - Weng算法：构建配对友好的阿贝尔簇

广义Brezing - Weng算法：构建配对友好的阿贝尔簇

1. 算法基础步骤

在构建配对友好的阿贝尔簇时，有一系列关键步骤。首先，选择一个本原 $k$ 次单位根 $\zeta \in L$，接着从集合 $\Sigma$ 中选择多项式 $\alpha_1, \ldots, \alpha_{g - 1}, \beta_1, \ldots, \beta_{g - 1} \in \mathbb{Q}[x]$。然后计算 $\alpha_g \in \mathbb{Q}[x]$ 使得 $\sum_{i = 1}^{g} \alpha_i(\gamma) = 1$，计算 $\beta_g \in \mathbb{Q}[x]$ 使得 $\sum_{i = 1}^{g} \beta_i(\gamma) = \zeta$。之后使用中国剩余定理计算 $\xi \in K[x]$，满足 $\xi \equiv \alpha_i \mod r_{\psi_i}(x)$ 且 $\xi \equiv \beta_i \mod r_{\psi_i}(x)$ ，其中 $i = 1, 2, \ldots, g$。最后设置 $\pi(x) \leftarrow N_{\Psi}(\xi)$ 并返回 $\pi(x)$。

若 $K$ 是二次虚数域，步骤（4）为空，设置 $q(x) = \pi(x)\pi(x)$ 和 $t(x) = \pi(x) + \pi(x)$ 可恢复Brezing - Weng算法。

2. 从族到显式阿贝尔簇

为了构建由族 $(\pi, r)$ 表示的簇，我们使用CM域 $K$。通过CM方法构建特征为零的阿贝尔簇 $A$，使得 $\text{End}(A) \otimes