23、高维数据处理中的数学方法解析

高维数据处理中的数学方法解析

在高维数据处理领域，涉及到众多复杂而精妙的数学方法，这些方法在数据降维、特征提取等方面发挥着关键作用。下面将详细介绍稀疏表达、PCA 与中心化、协方差与 Gram 矩阵的联系、从距离到 Gram 矩阵的转换以及 Nyström 近似等重要内容。

1. 稀疏表达

在处理数据时，利用奇异值分解（SVD）可以得到一些重要的矩阵关系。通过对 ˜ 进行 SVD 分解（公式为 Eq. (D.1)），在 Eq. (D.4) 中可以得到：
[X = U\sqrt{\Sigma}V^{\top}(\tilde{\mathbf{X}})V I_{r\times d}(A^{\top})]
这样，矩阵 X 和 A 可以仅通过矩阵 V 以及公式 Eq. (D.5) 来计算，并且有：
[X = \tilde{\mathbf{X}}A^{\top}]
这里的矩阵运算体现了数据之间的内在联系，通过这些公式可以从已知数据中推导出未知矩阵。

同时，左乘 (I_{r\times d}) 和右乘 (I_{d\times r}) 分别对应于选择矩阵的前 d 行和前 d 列。因此，在计算中只需要矩阵 U、V 和 (\sqrt{\Sigma}) 的部分元素。考虑到 (\sqrt{\Sigma}I_{r\times d} = I_{r\times d}I_{d\times r}\sqrt{\Sigma}I_{r\times d})，可以使用更小的矩阵 (\tilde{U} = UI_{r\times d})、(\tilde{V} = VI_{r\times d}) 和 (\tilde{\Sigma} = I_{d\times r}\sqrt{\Sigma}