20、度量时态逻辑的多头监控技术解析

度量时态逻辑的多头监控技术解析

1. 正确性与复杂度分析

1.1 运算符评估的正确性

为证明度量时态逻辑（MTL）运算符评估的正确性，我们定义了一个不变式 (I(op, \sigma_{\leq i}, cop, oop))。它基于在有限流前缀 (\sigma_{\leq i} = \langle(\tau_k, b_k^1, \ldots, b_k^{\eta(op)})\rangle_{k\leq i}) 上应用步骤函数 (s_{op}) 后产生的状态 (cop) 和输出 (oop \in V^*)。这里的 (\sigma_{\leq i}) 存储了在第 (k) 次调用运算符 (op) 的步骤函数时传递给它的布尔值 (b_k^1, \ldots, b_k^{\eta(op)})，从初始状态 (cop_0) 开始。

首先，我们定义了一个辅助谓词 (SOUND_{op}(\sigma_{\leq i}, oop))，用于断言 MTL 运算符评估的合理性。假设 (\sigma_{\leq i}) 中的布尔值表示公式 (\varPhi) 的直接子公式的判定结果，那么运算符必须为 (\varPhi) 产生判定结果：
[
SOUND_{op}(\langle(\hat{\tau} k, \hat{b}_k)\rangle {k\leq i}, \langle(t_k, b_k)\rangle_{k < n}) \equiv \forall\rho \varPhi \phi_1 \ldots \phi_{\eta(op)}.
\varPhi = op(\phi_1, \ldots, \phi_{\eta(op)}) \land