13、等变动力系统中的对称变换应用

等变动力系统中的对称变换应用

在网络物理系统的相关模型中，等变系统无处不在。本文将深入探讨等变系统中的对称变换，以及如何利用这些对称性质进行安全验证。

1. 网络物理系统中的对称性示例

• 二维线性系统（圆系统）
  • 系统方程：$\dot{x}_1 = -x_2$，$\dot{x}_2 = x_1$，其中$x_1,x_2 \in R$。
  • 对称群$\Gamma$：由形如$B = [[a, -b], [b, a]]$（$a,b \in R$且$B$不为零矩阵）的矩阵组成。在此对称群下，该系统是$\Gamma$-等变的。
• 洛伦兹吸引子模型
  • 系统方程：$\dot{x} = -px + py$，$\dot{y} = -xz + rx - y$，$\dot{z} = xy - bz$，其中$p,r,b$为参数，$x,y,z \in R$。
  • 对称群$\Gamma$：包含变换$\gamma : (x,y,z) \to (-x,-y,z)$和恒等映射。该系统是$\Gamma$-等变的。
• 汽车模型
  • 系统方程：$\dot{x} = v\cos\theta$，$\dot{y} = v\sin\theta$，$\dot{\varphi} = u$，$\dot{v} = a$，$\dot{\theta} = \frac{v}{L}\tan(\varphi)$