20、函数在可变节奏与动态中的应用

函数在可变节奏与动态中的应用

1. 函数基础概念

函数可以表示为 (f: D \to R)，其中 (f) 是函数，(D) 是定义域，(R) 是值域。并非值域中的每个元素都一定有定义域中的元素与之对应。例如：
- (f(x) = 2x + 3)
- (f(x, y) = x^2 + y)
- (f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{1}{2}})

这些函数将实数映射到实数。函数的定义域和值域都有维度，若定义域由一个值表示，称该函数为单变量函数；否则为多变量函数。若值域是单个实数值，则值域是 1 维的；若是两个值，则是 2 维系统，以此类推。在 Python 中，多维值域的函数结果通常表示为 (n) 维元组，(n) 为值域的维度。

下面重点介绍单变量函数，它在绘制变量动态和节奏方面非常有用。首先介绍两种特定类型的单变量函数：分段线性函数和阶跃函数，然后再讨论更通用的函数形式。

1.1 分段线性函数

分段线性函数是最常见和直观的单变量函数，它是大多数常见图形的基础，由连接的直线段组成。例如，在时间 - 温度图表和股票市场行为展示中都能找到它。

以一个简单的月度温度图表为例，它由一组连接的直线组成，从 6 月到 10 月无缝连接。该图表作为分段线性函数具有以下特征：
- 图表的 (X) 轴引用 5 个点，每月一个，连续排列。
- 图表线由 4 条直线段组成。
- 图表是无缝的，即从 6 月到 10 月，线条没有间隙，函数是连续的。

单变量线性函数的形式为 (y = f(x) = ax + b)，其中 (x, y, a,