13、量子傅里叶变换：原理、复杂度与并行计算

量子傅里叶变换：原理、复杂度与并行计算

1. 非常规计算范式与量子实例

在计算领域，存在一些非常规的计算范式。其中，输入变量之间的关系可能呈现出一种全局约束的形式，即存在一个全局属性 (P(x_0, x_1, \ldots, x_{n - 1})) 来表征系统的初始状态，并且在整个计算过程中必须保持该属性。若在计算的某一时刻，该属性 (P) 不满足，则计算被认为失败。

这些非常规计算范式中的每一种都存在量子力学实例，且往往需要并行方法才能成功实现。

2. 量子傅里叶变换基础

傅里叶变换在计算机科学中是非常有用的工具，在量子计算中也至关重要。离散傅里叶变换在量子计算机上的计算速度比经典计算机快得多，这使得它能够构建一类快速量子算法，如 Shor 用于分解整数和计算离散对数的量子算法。

量子傅里叶变换是一个线性算子，它对与 (n) 量子比特寄存器相关的任何计算基向量 (|0\rangle, |1\rangle, \ldots, |2^n - 1\rangle) 的作用由以下变换描述：
[|j\rangle \to \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{k = 0}^{2^n - 1} e^{2\pi ijk/2^n}|k\rangle, \quad 0 \leq j \leq 2^n - 1.]

量子计算相对于经典计算的本质优势在于量子力学的态叠加原理，它允许同时处理所有可能的输入。如果量子寄存器处于基向量的任意叠加态 (\sum_{j = 0}^{2^n - 1} x_j|j\rangle)，那么量子傅里叶变换会将该状态旋转到另一个基向量的叠加态 (\sum_{k = 0}^{2^n - 1}