14、小波变换与短时傅里叶变换：原理、对比与应用

小波变换与短时傅里叶变换：原理、对比与应用

1. 小波变换基础

小波变换中，若(\psi(w))是中心频率为(w_0)的带通滤波器，那么滤波器的频率响应为(\sqrt{a}\psi(-aw))，其中心频率为(-a^{-1}w_0)。小波变换(X(a, b))作为该滤波器在时间(b)的输出，代表了信号(x(t))在频率(-a^{-1}w_0)附近、时间(b)附近的“频率内容”。通常忽略负号，变量(a^{-1})类似于频率，在小波文献中，(\vert a\vert)常被称为“尺度”。同时，小波函数(\psi(t))需满足(\int\psi(t)dt = 0)，这等价于(\hat{\psi}(0) = 0)，符合带通特性。

2. 短时傅里叶变换（STFT）

2.1 STFT的定义与计算

在许多应用中，需要考虑频率随时间变化的情况，传统傅里叶变换无法满足这一需求。1946年，Gabor引入了短时傅里叶变换（STFT）。其原理是将信号(x(t))与以时间(\tau)为中心的窗口函数(v(t - \tau))相乘，然后计算乘积的傅里叶变换：
[X(\omega, \tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)v(t - \tau)e^{-j\omega t} dt]
为了实际应用，需要对(\omega)和(\tau)进行离散化。传统STFT中，(\omega)和(\tau)在均匀网格上离散化，定义为：
[X_{STFT}(k\omega_s, nT_s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)v(t - nT_s)e^{-jk\omega_s t} dt]
其中，(X_{STF