6、多元方法：从数据到分类与回归的深入解析

多元方法：从数据到分类与回归的深入解析

1. 多元数据概述

在众多实际应用场景中，我们常常会对每个个体或事件进行多项测量，从而生成观测向量。这些样本可以用一个数据矩阵来表示：
[
X =
\begin{bmatrix}
X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1d} \
X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2d} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
X_{N1} & X_{N2} & \cdots & X_{Nd}
\end{bmatrix}
]
其中，矩阵的 (d) 列对应着 (d) 个变量，这些变量代表了对个体或事件进行测量的结果，它们也被称作输入、特征或属性。而 (N) 行则代表了 (N) 个独立且同分布的观测、示例或实例。

以贷款申请审批为例，一个观测向量就是与一位客户相关的信息，可能包括年龄、婚姻状况、年收入等。这里的测量值可能具有不同的尺度，比如年龄以年为单位，年收入以货币单位计量。并且，有些变量（如年龄）是数值型的，而有些（如婚姻状况）则是离散型的。

通常情况下，这些变量之间存在相关性。如果变量之间没有相关性，那么进行多元分析就没有必要了。我们进行多元分析的目的可能有多种，比如简化数据，即通过相对较少的参数来概括大量的数据；或者进行探索性分析，对数据提出假设；还有可能是根据其他变量的值来预测某个变量的值。如果预测的变量是离散型的，这就是多元分类问题；如果是数值型的，则是多元回归问题。