jzoj1897. 书堆（调和级数公式）

题目描述

Description
　　蚂蚁是勤劳的动物，他们喜欢挑战极限。现在他们迎来了一个难题！蚂蚁居住在图书馆里，图书馆里有大量的书籍。书是形状大小质量都一样的矩形。蚂蚁要把这些书摆在水平桌子的边缘。蚂蚁喜欢整洁的布置，所以蚂蚁规定书本必须水平摆放，宽必须平行于桌缘（如图），而且不允许同一高度摆多本书
　　
　　蚂蚁想要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。它们已经用不知道什么方法测出了书的长度M（如图）。如果总共有N本书，请你帮忙计算如何摆放使得最多水平伸出桌缘多远。你不用考虑蚂蚁用什么方法搭建这堆书。
　　如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。
　　()不考虑地球自转，重力系数也不因高度改变；
　　()书是质量均匀，质地坚硬的理想二维物体；
　　(*)在不会垮的前提下，每本书的位置坐标可以是任意实数。

Input
　　输入文件仅含一行，两个正整数N和M，表示书本数和书本长度。

Output
　　输出仅包含一行，整数L，表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数，详见样例)

Sample Input
【输入样例一】
1 100

【输出样例一】
49

【输入样例二】
2 100

【输出样例二】
74

Sample Output

Data Constraint

Hint
【数据范围】
　　10%的数据中N≤5；
　　20%的数据中N≤10^3；
　　40%的数据中N≤10^7；
　　100%的数据中N≤10^{18；答案≤10}6。

20~40%(?)

从上往下设其伸出长度为ai
二分a1，利用重心的约束条件来往下求
最后判断(a1+…+an)/n<m/2

code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))
using namespace std;

int l,r,mid;
long long n,m;
long double sum,M;
bool bz;

bool pd(double a)
{
	int i,j,k,l;
	
	sum=a;
	
	fo(i,2,n)
	{
		a=sum/(i-1)-M;
		sum+=a;
	}
	
	sum/=n;
	
	if (abs(sum-M)<=0.00000001)
	return 0;
	
	if (sum<M)
	return 1;
	else
	return 0;
}

int main()
{
//	freopen("S8_2_1.in","r",stdin);
	
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	M=m/2.0;
	
	if (n<=1000000)
	{
		l=1;
		r=1000000;
	}
	else
	{
		l=7*m;
		r=9*m;
	}
	
	while (l<r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		
		if (pd(mid))
		l=mid+1;
		else
		r=mid;
	}
	
	if (!pd(l))
	--l;
	
	printf("%d\n",l);
}

40%

假设把书堆反过来，变成从左往右（从上往下）放
第一本书的左边界为x=0，那么最终答案=所有书的重心
设S表示已经放了的i-1本书的重心和，G表示i-1本书的重心
显然G=S/(i-1)

考虑贪心放第i本书
显然i的左边界最多能贴着G，那么i的重心为G+M/2
则S+=G+M/2，S=S+S/(i-1)+M/2（i≥2）

最终答案为G

100%

化一下式子
$S_1=\frac{M}{2}$
$S=S+\frac{S}{i-1}+\frac{M}{2}$（i≥2）
$=S\ast \frac{i}{i-1}+\frac{M}{2}$
可以发现最终的S为
$S=\frac{M}{2}\ast {\sum }_{i=1}^n\frac{n}{i}$
$G=\frac{S}{n}=\frac{M}{2}\ast {\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}$

---

当n很大（>10⁷）时，后面的可以用调和级数公式来算
调和级数公式（n趋近于无穷）：
${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}\approx \ln (n)+\gamma$，其中$\gamma$为欧拉常数，约等于0.5772156649
一些定义：
https://baike.baidu.com/item/欧拉常数/5371177?fr=aladdin

（这个貌似可以手算机算）
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}={\int }_1^{n+1}\frac{1}{\lfloor x\rfloor }dx$

推导

${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}={\int }_1^{n+1}\frac{1}{\lfloor x\rfloor }dx$
$={\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}dx+{\int }_1^{n+1}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$
$=\ln (n+1)+{\int }_1^{n+1}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$
其实当n大时ln(n)和ln(n+1)差不多
$\approx \ln (n)+\gamma$（n+1≈∞）

code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define r 0.577215664901532860606512090082402431042159335
using namespace std;

int i,j,k,l;
long long n;
long double S,m;

int main()
{
//	freopen("S8_2_1.in","r",stdin);
	
	scanf("%lld%Lf",&n,&m);
	m/=2.0;
	
//	S+=G+M/2 G=S/i
	
//	40%
//	S=m;
//	fo(i,2,n)
//	S+=S/(i-1)+m;
//	S/=n;
	
//	100%
	if (n<=10000000)
	{
		fo(i,1,n)
		S+=1.0/i;
		S*=m;
	}
	else
	S=m*(log(n)+r);
	
	printf("%0.0Lf\n",floor(S-0.0000001));
}

附·欧拉常数近似计算

根据积分的定义：[a,b]段曲线与x轴之间的面积，化成若干矩形来计算面积和

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define E 0.0001
using namespace std;

long double euler,i;

int main()
{
	i=1;
	
	while (i<=10000)
	{
		euler+=(1.0/floor(i)-1.0/i);
		i+=E;
	}
	
	printf("%0.10Lf\n",euler*E);
}

算得γ=0.5771351607，足以通过本题