CINTA 作业一

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本文通过CINTA作业实例，展示了迭代实现简单乘法的C++代码，同时深入解析了整数整除性质的数学证明，包括命题1.1和定理1.1的严谨论证。

CINTA 作业一

迭代实现简单乘法

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int total,a,b;
 cin>>a>>b;
 while(b!=0){
  if(b&1==1)total+=a;
  b>>=1;
  a<<=1;
 }cout<<total;
}

命题1.1的证明
前提是a、b、c都为整数，因为b可以被a整除，则有一个整数x使得a∗x=b，而c被b整除，则有一个整数y使得b∗y=c，将两个式子整合在一起则为c=b∗y=a∗x∗y，整数相乘还是整数，则可证明a∣c。
已知c∣a，c∣b，则有a=x∗c，b=y∗c，其中x和y都是整数。这时c∣(ma+nb)则表示为m∗a+n∗b=(m∗x∗c+n∗y∗c)/c，结果得到m∗x+n∗y，仍是整数，故得证。

定理1.1的证明
定理1.1的证明我想用一个以b为长度单位的尺来证明。如果a刚好可以被b整除，则r=0满足定理。如果不能被整除，那么a一定落在这个以b为长度单位的尺子上的某处，并且是落在两个等距点中间。假设a应该落在qb和(q+1)b之间，但是这时取q-1，那么r=a-(q-1)b=a-qb+b，那么这时r>b，不满足定理。若是取q+1，则已经把a所在的位置覆盖了，这种情况r<0，不满足定理。故得证。