矩阵代数(二)- 矩阵的逆

本文探讨了矩阵的逆的概念及求解方法,包括2x2矩阵逆的直接公式和一般矩阵逆的行化简过程。同时介绍了初等矩阵及其逆矩阵的特性,以及如何通过一系列初等行变换求解矩阵的逆。

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小结

  1. 矩阵的逆A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1
  2. A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1的方法

矩阵的逆

一个n×nn \times nn×n矩阵A\boldsymbol{A}A使可逆的,若存在一个n×nn \times nn×n矩阵C\boldsymbol{C}C使CA=I\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}CA=IAC=I\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{I}AC=I。其中,I=In\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}_nI=In使n×nn \times nn×n单位矩阵。这时称C\boldsymbol{C}CA\boldsymbol{A}A的逆。实际上,C\boldsymbol{C}CA\boldsymbol{A}A唯一确定,因为若B\boldsymbol{B}B是另一个A\boldsymbol{A}A的逆,那么将有B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C\boldsymbol{B}=\boldsymbol{BI}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{AC})=(\boldsymbol{BA})C=\boldsymbol{IC}=\boldsymbol{C}B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C。于是,若A\boldsymbol{A}A可逆,它的逆是唯一的,我们将它记为A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1,于是A−1A=AA−1=I\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I}A1A=AA1=I
不可逆矩阵有时称为奇异矩阵,而可逆矩阵也称为非奇异矩阵

定理4   \;A=[abcd]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}A=[acbd]。若ad−bc≠0ad-bc \neq 0adbc̸=0,则A\boldsymbol{A}A可逆且A−1=1ad−bc[d−b−ca]\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}A1=adbc1[dcba];若ad−bc=0ad-bc = 0adbc=0,则A\boldsymbol{A}A不可逆。
证明:设A−1=[x1x2x3x4]\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4\end{bmatrix}A1=[x1x3x2x4],则有AA−1=[ax1+bx3ax2+bx4cx1+dx3cx2+dx4]=I=[1001]\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}ax_1+bx_3 & ax_2+bx_4 \\ cx_1+dx_3 & cx_2+dx_4\end{bmatrix}=\boldsymbol{I}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}AA1=[ax1+bx3cx1+dx3ax2+bx4cx2+dx4]=I=[1001],即有{ax1+bx3=1ax2+bx4=0cx1+dx3=0cx2+dx4=1\begin{cases}ax_1 + bx_3 = 1\\ ax_2 + bx_4 = 0\\ cx_1 + dx_3 = 0 \\ cx_2 + dx_4 = 1\end{cases}ax1+bx3=1ax2+bx4=0cx1+dx3=0cx2+dx4=1,对应的增广矩阵为[a0b010a0b0c0d000c0d1]\begin{bmatrix}a & 0 & b & 0 & 1\\ 0 & a & 0 & b & 0 \\ c & 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & d & 1 \end{bmatrix}a0c00a0cb0d00b0d1001
对增广矩阵进行行化简,得:
[a0b010a0b0c0d000c0d1]\begin{bmatrix}a & 0 & b & 0 & 1\\ 0 & a & 0 & b & 0 \\ c & 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & d & 1 \end{bmatrix}a0c00a0cb0d00b0d1001[ac0bc0c0ac0bc000ad−bc0−c000ad−bca]\begin{bmatrix}ac & 0 & bc & 0 & c\\ 0 & ac & 0 & bc & 0 \\ 0 & 0 & ad - bc & 0 & -c \\ 0 & 0 & 0 & ad - bc & a\end{bmatrix}ac0000ac00bc0adbc00bc0adbcc0ca
ad−bc=0ad-bc = 0adbc=0,则a=0,c=0a=0,c=0a=0,c=0A\boldsymbol{A}A的第一列为零向量,任何矩阵B\boldsymbol{B}BA\boldsymbol{A}A的第一列(零向量)得到的第一列都是零向量。故若A\boldsymbol{A}A可逆,ad−bc≠0ad-bc \neq 0adbc̸=0
ad−bc≠0ad-bc \neq 0adbc̸=0,继续行化简增广矩阵为:[1000dad−bc0100−bad−bc0010−cad−bc0001aad−bc]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{d}{ad-bc}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{-b}{ad-bc} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{-c}{ad-bc} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{a}{ad-bc}\end{bmatrix}1000010000100001adbcdadbcbadbccadbca。其通解为:{x1=dad−bcx2=−cad−bcx3=−cad−bcx4=aad−bc\begin{cases} x_1=\frac{d}{ad-bc} \\ x_2 = \frac{-c}{ad-bc} \\ x_3 = \frac{-c}{ad-bc} \\ x_4 = \frac{a}{ad-bc}\end{cases}x1=adbcdx2=adbccx3=adbccx4=adbca,即A−1=1ad−bc[d−b−ca]\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}A1=adbc1[dcba]
ad−bcad-bcadbc称为A\boldsymbol{A}A行列式,即为detA=ad−bcdet \boldsymbol{A}=ad-bcdetA=adbc

A=[3456]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}A=[3546]的逆。
解:因为detA=3×6−4×5=−2≠0det \boldsymbol{A}=3 \times 6 - 4 \times 5=-2 \neq 0detA=3×64×5=2̸=0,所有A\boldsymbol{A}A可逆且A−1=1−2[6−4−53]=[−3252−32]\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}6 & -4 \\ -5 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 2 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2}\end{bmatrix}A1=21[6543]=[325223]

定理5   \;A\boldsymbol{A}A是可逆n×nn \times nn×n矩阵,则对每一Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的b\boldsymbol{b}b,方程Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}Ax=b有唯一解x=A−1b\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}x=A1b

定理6
a.  a.\;a.A\boldsymbol{A}A是可逆矩阵,则A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1也可逆而且(A−1)−1=A(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}(A1)1=A
b.  b.\;b.A\boldsymbol{A}AB\boldsymbol{B}B都是n×nn \times nn×n可逆矩阵,则AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB也可逆,且其逆是A\boldsymbol{A}AB\boldsymbol{B}B的逆矩阵按相反顺序的乘积,即(AB)−1=B−1A−1(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}(AB)1=B1A1
c.  c.\;c.A\boldsymbol{A}A可逆,则AT\boldsymbol{A}^{T}AT也可逆,且其逆是A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1的转置,即(AT)−1=(A−1)T(\boldsymbol{A}^{T})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{T}(AT)1=(A1)T

推广
若干个n×nn \times nn×n可逆矩阵的积也是可逆的,其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积。

** 初等矩阵**
把单位矩阵进行一次初等行变换,就得到初等矩阵
E1=[100010−401],A=[abcdefghi]\boldsymbol{E}_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix}, \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}E1=104010001,A=adgbehcfi,计算E1A\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{A}E1A
解:
E1A=[100010−401][abcdefghi]=[abcdef−4a+g−4b+h−4c+i]\begin{aligned}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{A} &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ -4a+g & -4b +h & -4c +i \end{bmatrix}\end{aligned}E1A=104010001adgbehcfi=ad4a+gbe4b+hcf4c+i
若我们把I3\boldsymbol{I}_3I3的第1行的−4-44倍加到第3行,可得E1\boldsymbol{E}_1E1
若我们把A\boldsymbol{A}A的第1行的−4-44倍加到第3行也可得E1A\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{A}E1A
若对m×nm \times nm×n矩阵A\boldsymbol{A}A进行某种初等行变换,所得矩阵可写成EA\boldsymbol{E}\boldsymbol{A}EA,其中EEEm×mm \times mm×m矩阵,是由Im\boldsymbol{I}_mIm进行同一行变换所得。

因为行变换是可逆的,故初等矩阵也是可逆的。若E\boldsymbol{E}E是由I\boldsymbol{I}I进行行变换所得,则有同一类型的另一行变换把E\boldsymbol{E}E变回I\boldsymbol{I}I。因此,有初等矩阵F\boldsymbol{F}F使FE=I\boldsymbol{FE}=\boldsymbol{I}FE=I
每个初等矩阵E\boldsymbol{E}E是可逆的,F\boldsymbol{F}F的逆是一个同类型的初等矩阵,它把F\boldsymbol{F}F变回I\boldsymbol{I}I
E1=[100010−401]\boldsymbol{E}_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix}E1=104010001的逆。
解:为把E1\boldsymbol{E}_1E1变成I\boldsymbol{I}I,需把第1行的4倍加到第3行。所以(E1)−1(\boldsymbol{E}_1)^{-1}(E1)1的逆就等于I\boldsymbol{I}I的第1行的4倍加到第3行,即(E1)−1=[100010401](\boldsymbol{E}_1)^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1\end{bmatrix}(E1)1=104010001

定理7   n×n\;n \times nn×n矩阵A\boldsymbol{A}A是可逆的,当且仅当A\boldsymbol{A}A行等价于In\boldsymbol{I}_nIn,这时,把A\boldsymbol{A}A化简为In\boldsymbol{I}_nIn的一系列初等行变换同时把In\boldsymbol{I}_nIn变成A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1

A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1的算法

**把增广矩阵[AI]\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{I}\end{bmatrix}[AI]**进行行化简,若A\boldsymbol{A}A行等价于I\boldsymbol{I}I,则[AI]\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{I}\end{bmatrix}[AI]行等价于[IA−1]\begin{bmatrix}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{A}^{-1}\end{bmatrix}[IA1],否则A\boldsymbol{A}A不可逆。
求矩阵A=[0121034−38]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3\\ 4 & -3 & 8\end{bmatrix}A=014103238的逆,若存在。
解:[AI]=[0121001030104−38001]\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{I}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[AI]=014103238100010001
[0121001030104−38001]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}014103238100010001
[1030100121000−3−40−41]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -4 & 0 & -4 & 1 \end{bmatrix}100013324010104001
[1030100121000023−41]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{bmatrix}100010322013104001
[100−927−32010−2−4−100132−212]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{9}{2} & 7 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}1000100012922374223121
因为A\boldsymbol{A}AI\boldsymbol{I}I,由定理7知A\boldsymbol{A}A可逆,且A−1=[−927−32−2−4−132−212]\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{9}{2} & 7 & -\frac{3}{2} \\ -2 & -4 & -1 \\ \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}A1=2922374223121

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