矩阵代数（二）- 矩阵的逆

小结

1. 矩阵的逆${\mathbf{A}}^{-1}$
2. 求${\mathbf{A}}^{-1}$的方法

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矩阵的逆

一个$n\times n$矩阵$\mathbf{A}$使可逆的，若存在一个$n\times n$矩阵$\mathbf{C}$使$\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{I}$且$\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{I}$。其中，$\mathbf{I}={\mathbf{I}}_n$使$n\times n$单位矩阵。这时称$\mathbf{C}$是$\mathbf{A}$的逆。实际上，$\mathbf{C}$由$\mathbf{A}$唯一确定，因为若$\mathbf{B}$是另一个$\mathbf{A}$的逆，那么将有$\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{I}=\mathbf{B}(\mathbf{A}\mathbf{C})=(\mathbf{B}\mathbf{A})C=\mathbf{I}\mathbf{C}=\mathbf{C}$。于是，若$\mathbf{A}$可逆，它的逆是唯一的，我们将它记为${\mathbf{A}}^{-1}$，于是${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$。
不可逆矩阵有时称为奇异矩阵，而可逆矩阵也称为非奇异矩阵。

定理4   \;设$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$。若$ad-bc̸=0$，则$\mathbf{A}$可逆且${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$；若$ad-bc=0$，则$\mathbf{A}$不可逆。
证明：设${\mathbf{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right]$，则有$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}a{x}_1+b{x}_3& a{x}_2+b{x}_4\\ c{x}_1+d{x}_3& c{x}_2+d{x}_4\end{array}\right]=\mathbf{I}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，即有$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_3=1\\ a{x}_2+b{x}_4=0\\ c{x}_1+d{x}_3=0\\ c{x}_2+d{x}_4=1\end{array}$，对应的增广矩阵为$\left[\begin{array}{ccccc}a& 0& b& 0& 1\\ 0& a& 0& b& 0\\ c& 0& d& 0& 0\\ 0& c& 0& d& 1\end{array}\right]$
对增广矩阵进行行化简，得：
$\left[\begin{array}{ccccc}a& 0& b& 0& 1\\ 0& a& 0& b& 0\\ c& 0& d& 0& 0\\ 0& c& 0& d& 1\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}ac& 0& bc& 0& c\\ 0& ac& 0& bc& 0\\ 0& 0& ad-bc& 0& -c\\ 0& 0& 0& ad-bc& a\end{array}\right]$
若$ad-bc=0$，则$a=0,c=0$。$\mathbf{A}$的第一列为零向量，任何矩阵$\mathbf{B}$乘$\mathbf{A}$的第一列（零向量）得到的第一列都是零向量。故若$\mathbf{A}$可逆，$ad-bc̸=0$。
若$ad-bc̸=0$，继续行化简增广矩阵为：$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& \frac{d}{ad-bc}\\ 0& 1& 0& 0& \frac{-b}{ad-bc}\\ 0& 0& 1& 0& \frac{-c}{ad-bc}\\ 0& 0& 0& 1& \frac{a}{ad-bc}\end{array}\right]$。其通解为：$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{d}{ad-bc}\\ x_2=\frac{-c}{ad-bc}\\ x_3=\frac{-c}{ad-bc}\\ x_4=\frac{a}{ad-bc}\end{array}$，即${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。
数$ad-bc$称为$\mathbf{A}$的行列式，即为$det\mathbf{A}=ad-bc$。

求$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$的逆。
解：因为$det\mathbf{A}=3\times 6-4\times 5=-2̸=0$，所有$\mathbf{A}$可逆且${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}6& -4\\ -5& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ \frac{5}{2}& -\frac{3}{2}\end{array}\right]$

定理5   \;若$\mathbf{A}$是可逆$n\times n$矩阵，则对每一${\mathbb{R}}^n$中的$\mathbf{b}$，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$。

定理6
$a.$若$\mathbf{A}$是可逆矩阵，则${\mathbf{A}}^{-1}$也可逆而且$({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}$。
$b.$若$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$都是$n\times n$可逆矩阵，则$\mathbf{A}\mathbf{B}$也可逆，且其逆是$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$的逆矩阵按相反顺序的乘积，即$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$。
$c.$若$\mathbf{A}$可逆，则${\mathbf{A}}^T$也可逆，且其逆是${\mathbf{A}}^{-1}$的转置，即$({\mathbf{A}}^T{)}^{-1}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T$。

推广
若干个$n\times n$可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵的逆按相反顺序的乘积。

** 初等矩阵**
把单位矩阵进行一次初等行变换，就得到初等矩阵。
设${\mathbf{E}}_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right],\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$，计算${\mathbf{E}}_1\mathbf{A}$。
解：
$\begin{array}{rl}{\mathbf{E}}_1\mathbf{A}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ -4a+g& -4b+h& -4c+i\end{array}\right]\end{array}$
若我们把${\mathbf{I}}_3$的第1行的$-4$倍加到第3行，可得${\mathbf{E}}_1$
若我们把$\mathbf{A}$的第1行的$-4$倍加到第3行也可得${\mathbf{E}}_1\mathbf{A}$
若对$m\times n$矩阵$\mathbf{A}$进行某种初等行变换，所得矩阵可写成$\mathbf{E}\mathbf{A}$，其中$E$是$m\times m$矩阵，是由${\mathbf{I}}_m$进行同一行变换所得。

因为行变换是可逆的，故初等矩阵也是可逆的。若$\mathbf{E}$是由$\mathbf{I}$进行行变换所得，则有同一类型的另一行变换把$\mathbf{E}$变回$\mathbf{I}$。因此，有初等矩阵$\mathbf{F}$使$\mathbf{F}\mathbf{E}=\mathbf{I}$。
每个初等矩阵$\mathbf{E}$是可逆的，$\mathbf{F}$的逆是一个同类型的初等矩阵，它把$\mathbf{F}$变回$\mathbf{I}$
求${\mathbf{E}}_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]$的逆。
解：为把${\mathbf{E}}_1$变成$\mathbf{I}$，需把第1行的4倍加到第3行。所以$({\mathbf{E}}_1{)}^{-1}$的逆就等于$\mathbf{I}$的第1行的4倍加到第3行，即$({\mathbf{E}}_1{)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 4& 0& 1\end{array}\right]$

定理7 $n\times n$矩阵$\mathbf{A}$是可逆的，当且仅当$\mathbf{A}$行等价于${\mathbf{I}}_n$，这时，把$\mathbf{A}$化简为${\mathbf{I}}_n$的一系列初等行变换同时把${\mathbf{I}}_n$变成${\mathbf{A}}^{-1}$

求${\mathbf{A}}^{-1}$的算法

**把增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{I}\end{array}\right]$**进行行化简，若$\mathbf{A}$行等价于$\mathbf{I}$，则$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{I}\end{array}\right]$行等价于$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& {\mathbf{A}}^{-1}\end{array}\right]$，否则$\mathbf{A}$不可逆。
求矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 4& -3& 8\end{array}\right]$的逆，若存在。
解：$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{I}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0& 1& 0\\ 4& -3& 8& 0& 0& 1\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0& 1& 0\\ 4& -3& 8& 0& 0& 1\end{array}\right]$～
$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 3& 0& 1& 0\\ 0& 1& 2& 1& 0& 0\\ 0& -3& -4& 0& -4& 1\end{array}\right]$～
$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 3& 0& 1& 0\\ 0& 1& 2& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 3& -4& 1\end{array}\right]$～
$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -\frac{9}{2}& 7& -\frac{3}{2}\\ 0& 1& 0& -2& -4& -1\\ 0& 0& 1& \frac{3}{2}& -2& \frac{1}{2}\end{array}\right]$
因为$\mathbf{A}$～$\mathbf{I}$，由定理7知$\mathbf{A}$可逆，且${\mathbf{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{9}{2}& 7& -\frac{3}{2}\\ -2& -4& -1\\ \frac{3}{2}& -2& \frac{1}{2}\end{array}\right]$