矩阵代数(三)- 可逆矩阵的特征

本文探讨了可逆矩阵的性质与判定方法,详细解释了可逆线性变换的概念及其与可逆矩阵的关系。通过具体例子展示了如何利用可逆矩阵定理判断矩阵的可逆性。

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小结

  1. 可逆矩阵定理
  2. 可逆线性变换

可逆矩阵定理

定理8(可逆矩阵定理)
A\boldsymbol{A}An×nn \times nn×n矩阵,则下列命题是等价的,即对某一特定的A\boldsymbol{A}A,它们同时为真或同时为假。
a.  Aa.\;\boldsymbol{A}a.A是可逆矩阵。
b.  Ab.\;\boldsymbol{A}b.A行等价于n×nn \times nn×n单位矩阵。
b.  Ab.\;\boldsymbol{A}b.Annn个主元位置。
d.  d.\;d.方程Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}Ax=0仅有平凡解。
e.  Ae.\;\boldsymbol{A}e.A的各列线性无关。
f.  f.\;f.线性变换x↦Ax\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}xAx是一对一的。
g.  g.\;g.Rn\mathbb{R}^{n}Rn中任意b\boldsymbol{b}b,方程Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}Ax=b至少有一个解。
h.  Ah.\;\boldsymbol{A}h.A的各列生成Rn\mathbb{R}^{n}Rn
i.  i.\;i.线性变换x↦Ax\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}xAxRn\mathbb{R}^{n}Rn映上到Rn\mathbb{R}^{n}Rn
j.  j.\;j.存在n×nn \times nn×n矩阵C\boldsymbol{C}C使CA=I\boldsymbol{CA}=\boldsymbol{I}CA=I
k.  k.\;k.存在n×nn \times nn×n矩阵D\boldsymbol{D}D使AD=I\boldsymbol{AD}=\boldsymbol{I}AD=I
l.  ATl.\;\boldsymbol{A}^{T}l.AT是可逆矩阵。

应用可逆矩阵定理来判断A\boldsymbol{A}A是否可逆:A=[10−231−2−5−19]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ -5 & -1 & 9\end{bmatrix}A=135011229
解:A\boldsymbol{A}A[10−20140−1−1]\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{bmatrix}100011241[10−2014003]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}100010243
所以A\boldsymbol{A}A有3个主元位置,A\boldsymbol{A}A是可逆的。

可逆线性变换

线性变换T:Rn→Rn\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}T:RnRn称为可逆的,若存在变换S:Rn→Rn\boldsymbol{S}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}S:RnRn使得
a.  a.\;a.对所有的Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的x\boldsymbol{x}xS(T(x))=x\boldsymbol{S}(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}S(T(x))=x
b.  b.\;b.对所有的Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的x\boldsymbol{x}xT(S(x))=x\boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}T(S(x))=x
我们称S\boldsymbol{S}ST\boldsymbol{T}T的逆,把它写成T−1\boldsymbol{T}^{-1}T1

T:Rn→Rn\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}T:RnRn为线性变换,A\boldsymbol{A}AT\boldsymbol{T}T的标准矩阵。则T\boldsymbol{T}T可逆当且仅当A\boldsymbol{A}A是可逆矩阵。这时由S(x)=A−1\boldsymbol{S}(x)=\boldsymbol{A}^{-1}S(x)=A1定义的线性变换S就是T\boldsymbol{T}T的逆。

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