矩阵代数（三）- 可逆矩阵的特征

最新推荐文章于 2023-01-24 10:53:51 发布

mHubery

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数可逆矩阵的特征

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本文探讨了可逆矩阵的性质与判定方法，详细解释了可逆线性变换的概念及其与可逆矩阵的关系。通过具体例子展示了如何利用可逆矩阵定理判断矩阵的可逆性。

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小结

可逆矩阵定理
可逆线性变换

可逆矩阵定理

定理8（可逆矩阵定理）
设 $A\boldsymbol{A}$ 为 $\times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A\boldsymbol{A}$ ，它们同时为真或同时为假。
$a. Aa.\;\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵。
$b. Ab.\;\boldsymbol{A}$ 行等价于 $\times n$ 单位矩阵。
$b. Ab.\;\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个主元位置。
$d. d.\;$ 方程 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 仅有平凡解。
$e. Ae.\;\boldsymbol{A}$ 的各列线性无关。
$f. f.\;$ 线性变换 $x↦Ax\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}$ 是一对一的。
$g. g.\;$ 对 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 中任意 $b\boldsymbol{b}$ ，方程 $Ax=b\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 至少有一个解。
$h. Ah.\;\boldsymbol{A}$ 的各列生成 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 。
$i. i.\;$ 线性变换 $x↦Ax\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}$ 把 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 映上到 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 。
$j. j.\;$ 存在 $\times n$ 矩阵 $C\boldsymbol{C}$ 使 $CA=I\boldsymbol{CA}=\boldsymbol{I}$ 。
$k. k.\;$ 存在 $\times n$ 矩阵 $D\boldsymbol{D}$ 使 $AD=I\boldsymbol{AD}=\boldsymbol{I}$ 。
$l. ATl.\;\boldsymbol{A}^{T}$ 是可逆矩阵。

应用可逆矩阵定理来判断 $A\boldsymbol{A}$ 是否可逆： $A=[10−231−2−5−19]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ -5 & -1 & 9\end{bmatrix}$ 。
解： $A\boldsymbol{A}$ ～ $[10−20140−1−1]\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{bmatrix}$ ～ $[10−2014003]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$
所以 $A\boldsymbol{A}$ 有3个主元位置， $A\boldsymbol{A}$ 是可逆的。

可逆线性变换

线性变换 $T:Rn→Rn\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 称为可逆的，若存在变换 $S:Rn→Rn\boldsymbol{S}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 使得
$a. a.\;$ 对所有的 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 中的 $x\boldsymbol{x}$ ， $S(T(x))=x\boldsymbol{S}(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}$
$b. b.\;$ 对所有的 $Rn\mathbb{R}^{n}$ 中的 $x\boldsymbol{x}$ ， $T(S(x))=x\boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}$ 。
我们称 $S\boldsymbol{S}$ 是 $T\boldsymbol{T}$ 的逆，把它写成 $T−1\boldsymbol{T}^{-1}$ 。

设 $T:Rn→Rn\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 为线性变换， $A\boldsymbol{A}$ 为 $T\boldsymbol{T}$ 的标准矩阵。则 $T\boldsymbol{T}$ 可逆当且仅当 $A\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵。这时由 $S(x)=A−1\boldsymbol{S}(x)=\boldsymbol{A}^{-1}$ 定义的线性变换S就是 $T\boldsymbol{T}$ 的逆。