15、编程中的循环结构：从确定循环到不确定循环

编程中的循环结构：从确定循环到不确定循环

在编程领域，循环结构是实现重复执行任务的重要工具。循环主要分为确定循环和不确定循环，它们各自适用于不同的场景。下面将详细介绍这两种循环结构及其应用实例。

1. 确定循环（Determinate Repetition）

确定循环是指在循环开始之前，就可以明确知道循环需要执行的次数。在编程中，通常使用 for 语句来实现确定循环。

1.1 二项式系数（Binomial coefficient）

二项式系数在数学和统计学中应用广泛，它表示从 n 个对象中选择 r 个对象的组合数，计算公式如下：
[
\begin{align }
\binom{n}{r} &= \frac{n!}{r!(n - r)!}\
\binom{n}{r} &= \frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - r + 1)}{r!}
\end{align }
]
使用第二个公式计算二项式系数在计算效率上更高，因为第一个公式中的阶乘可能会导致数值溢出。例如：
[
\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{1 \times 2 \times 3}
]

1.2 更新过程（Update processes）

在科学和工程领域，许多问题涉及对一个过程进行建模，其中主要变量会在一段时间内不断