8、物质输运与衰减降解的模拟与分析

物质输运与衰减降解的模拟与分析

1. 一维输运方程数值与解析解对比

在一维输运方程的求解中，我们可以通过数值方法和解析方法得到不同的解。为了达到用户指定的长度 $L$，需要满足一定条件，其中 $M$ 表示满足诺伊曼（Neumann）条件所需的扩散时间步数，诺伊曼条件如下：
[Neu = \frac{D \cdot \Delta t_{diff}}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2}]
在 m 文件中，时间是通过最大模拟时间和输出时间步长明确指定的。

1.1 解析解与数值解对比

使用 m 文件 analtrans.m 和 simpletrans.m 分别得到解析解和数值解。以输入值 $T = 1$、$L = 1$、$v = 1$、$D = 0.1$、$c_0 = 0$、$c_{in} = 1$、$M = 50$、$N = 50$ 为例，模拟结果如图 1 所示。

从图中可以看出，在模拟开始和结束时，解析解和数值解存在差异，而在中间时间段，两条曲线重合。这是因为所采用的算法在计算机数字截断误差范围内精确处理了对流项，两者的偏差主要源于扩散项的离散化。模拟开始时，浓度梯度非常陡峭，用有限差分近似表示微分的误差比后期模拟更大。可以通过增加单元格数量（降低 dxmax 的输入值）来减小误差。

在流出边界处的差异则是由于数值算法中的边界条件与解析解不一致