93、差分约束下的采样规划

差分约束下的采样规划

1. 采样与坐标邻域

一些规划方法可能需要在空间 $X$ 上进行采样。差异和离散度的定义可以分别轻松地应用于任何测度空间和度量空间。尽管定义一个好的采样准则可能很直接，但生成优化该准则的样本可能很困难甚至不可能。

为避免这个问题，一个便捷的方法是在 $X$ 的坐标邻域内工作。这会使流形看起来像 $\mathbb{R}^n$ 中的一个 $n$ 维区域，很多情况下是矩形的。这样就能直接应用相关的采样概念。不过，采样质量取决于用于定义坐标邻域的特定参数化方式。需要注意的是，在处理坐标邻域时（例如，假设 $X$ 是一个立方体），必须考虑适当的标识。

2. 碰撞检测

高效的碰撞检测算法是基于采样的规划的关键。如果 $X = C$，可以直接应用相关的碰撞检测方法。如果 $X$ 包含相位约束，则必须进行额外的测试。这些约束通常是给定的，因此评估起来相对直接。

确定 $x \in X_{free}$ 涉及以下步骤：
1. 使用碰撞检测算法确保 $\kappa(x) \in C_{free}$。
2. 检查 $x$ 以确保其他形式为 $h_i(x) \leq 0$ 的约束得到满足。

理论上应该检查整个轨迹段，但在实践中，通常只检查单个点，这样更高效，但从技术上来说并不正确。

3. 系统模拟器

由于差分约束的存在，基于采样的规划需要一个新的组件，即系统模拟器。运动现在用动作轨迹表示，但碰撞检测和约束满足测试必须在 $X$ 中进行。因此，在规划过程中需要频繁对系统 $\dot{x} = f(x, u)$ 进行积分。

系统模拟器的积分方