86、微分模型：从粒子到刚体的运动建模

微分模型：从粒子到刚体的运动建模

在运动系统的研究中，基于相关定律可以对其微分约束进行建模。下面我们将从粒子的运动开始，逐步深入到刚体的运动。

1. 粒子的运动

牛顿 - 欧拉模型以粒子为基础进行描述。每个粒子可看作具有质量 (m) 的点，力可以作用在任何粒子上。实际上，刚体的运动可通过将其建模为一组相互连接的粒子来确定，所以先了解粒子的行为很有帮助。

1.1 单个粒子的运动

考虑一个质量为 (m) 的粒子在 (W = R) 中运动的情况。此时力为标量 (f \in R)，设 (q(t)) 表示粒子在时间 (t) 时在 (W) 中的位置。根据牛顿第二定律 (f = m\ddot{q})，可解得：
(\ddot{q} = f/m) (13.50)

若将 (f) 视为作用变量 (u)，且 (m = 1)，则 (13.50) 式就是例 13.3 中的双积分器 (\ddot{q} = u)。引入相变量 (x_1 = q) 和 (x_2 = \dot{q}) 得到状态向量 (x = (q, \dot{q}))。对于固定的 (u)，粒子从任何初始状态的运动都可以用 (R^2) 上的向量场来描述，状态转移方程为：
(\dot{x}_1 = x_2)
(\dot{x}_2 = u/m) (13.51)

其中 (x_1 = q)，(x_2 = \dot{q})，(u = f)。设 (U = [−f_{max}, f_{max}])，(f_{max}) 表示可施加在粒子上的最大力的大小，因为过高的力在物理上是不现实的，所以不允许有任意大的力。

将粒子运动推广到 (W = R^2) 和 (