88、机械系统的微分模型：拉格朗日与哈密顿方法解析

机械系统的微分模型：拉格朗日与哈密顿方法解析

1. 拉格朗日力学中的动作应用

在机械系统的研究中，通常假设没有动作施加于系统，这是欧拉 - 拉格朗日方程在物理学中常见的形式，其目的更多是预测运动而非控制。然而，当我们需要对系统进行控制时，就需要引入动作向量。

设 $u \in R^n$ 表示动作向量，动作可以作为广义力应用于拉格朗日公式，作用于欧拉 - 拉格朗日方程的右侧，得到：
[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = u
]
这些动作会迫使机械系统偏离其正常行为。在某些情况下，真实动作可能需要通过其他变量表示，然后通过变换得到 $u$。此时，在上述方程中，$u$ 可以被 $\varphi(u)$ 替换，$u$ 的维度不一定为 $n$。

2. 推导状态转移方程的步骤

使用拉格朗日力学在光滑 $n$ 维流形的坐标邻域内推导微分模型，可遵循以下一般步骤：
1. 确定系统自由度并定义流形 ：确定系统的自由度，定义合适的 $n$ 维光滑流形 $C$。
2. 表达动能 ：将动能表示为配置速度分量的二次形式：
[
K(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} \dot{q}^T M(q) \dot{q} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} m_{ij}(q) \dot{q}_i \dot{q}_j
]
3.