86、微分模型下的物体运动分析

微分模型下的物体运动分析

在研究物体运动时，基于牛顿定律可以对运动物体系统的微分约束进行建模。下面将详细探讨粒子和刚体的运动模型。

1. 粒子的运动

牛顿 - 欧拉模型是基于粒子来描述的。每个粒子被视为具有质量 $m$ 的点，力可以作用在任何粒子上。刚体的运动实际上是通过将其建模为一组相互连接的粒子来确定的，因此先了解粒子的行为很有帮助。

1.1 单个粒子的运动

考虑一个质量为 $m$ 的粒子在 $W = R$ 中运动的情况。此时力是一个标量 $f \in R$。设 $q(t)$ 表示粒子在时间 $t$ 时在 $W$ 中的位置，加速度为 $\ddot{q}$，根据牛顿第二定律有 $f = m\ddot{q}$，可解得：
$\ddot{q} = f/m$ (13.50)

如果将 $f$ 解释为动作变量 $u$，且 $m = 1$，那么式 (13.50) 就是例 13.3 中的双积分器 $\ddot{q} = u$。引入相变量 $x_1 = q$ 和 $x_2 = \dot{q}$ 可得到状态向量 $x = (q, \dot{q})$。对于固定的 $u$，粒子从任何初始状态的运动都可以用 $R^2$ 上的向量场来描述。状态转移方程为：
$\dot{x}_1 = x_2$
$\dot{x}_2 = u/m$ (13.51)

其中 $x_1 = q$，$x_2 = \dot{q}$，$u = f$。设 $U = [−f_{max}, f_{max}]$，$f_{max}$ 表示可以施加在粒子上的最大力的大小，因为过大的力在物理上是不现实的，所以不允许施加任意大的力。

将粒子运