70、决策理论规划中的传感器与信息空间解析

决策理论规划中的传感器与信息空间解析

1. 线性传感模型基础

在决策理论规划里，传感器映射通常用公式表示为 (y = h(x) = Cx + W\psi) ，这里 (C) 和 (W) 是 (n \times n) 矩阵。一般情况下，即便 (C) 和 (W) 是奇异矩阵，也能得到线性传感模型。

当 (W = 0) 时，如果 (C) 是奇异矩阵，就无法从单次传感器观测直接推断状态。这通常对应着从 (n) 维状态空间投影到 (Y) 的一个子集，该子集的维度是 (C) 的秩。例如，若
[
C =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{bmatrix}
]
那么 (y = Cx) 可得 (y_1 = x_2) 且 (y_2 = 0) 。由于 (C) 的秩为 1，所以对于每个 ((x_1, x_2) \in X) ，只能观测到 (x_2) 。这表明在某些特殊情况下，奇异矩阵能测量部分状态变量，而让其他变量不可见。对于一般的奇异矩阵 (C) ，可理解为传感器将 (X) 投影到某个 (k) 维子空间，其中 (k) 是 (C) 的秩。若 (W) 是奇异矩阵，则意味着自然因素的影响有限，自然因素干扰传感器观测的自由度就是 (W) 的秩。

2. 简单投影传感器

2.1 二维世界中的机器人传感器

以在二维世界 (W = R^2) 中可滚动和旋转的移动机器人为例，其状态空间 (X = R^2 \times S^1) 。设点的坐标为 (p = (p_1, p_2)) ，方向为 (s \in S^1) ，状态可表示为 ((p_1, p_