55、决策理论规划深度解析

决策理论规划深度解析

1. 非零和博弈中的纳什均衡

在博弈问题中，纳什均衡是一个重要的概念。对于某些问题，如两个参与者的情况，纳什均衡可能是双方合作，结果为 (8, 8) 。但如果双方无法沟通和协调策略，就会为此付出代价。这种解决方案同时也是参与者的安全策略，因为它通过最坏情况分析实现了最低成本。

1.1 随机化纳什均衡

当一个博弈在确定性策略空间中不存在纳什均衡时，可以通过扩展策略空间，引入随机化策略来解决。每个零和博弈在随机化策略空间中都有一个随机化鞍点，而每个非零和博弈也都存在随机化纳什均衡。不过，这也存在一些问题。一方面，可能存在其他可接受的均衡，这意味着除非参与者进行合作，否则无法可靠地避免遗憾；另一方面，随机化纳什均衡不能使用线性规划方法计算，而需要非线性规划。

随机化策略的期望成本可以通过特定公式计算。对于一对随机化策略 (w, z) ，期望成本 $\overline{L} 1(w, z)$ 和 $\overline{L}_2(w, z)$ 可以用 (9.57) 计算。一对策略 $(w^ , z^ )$ 被称为随机化纳什均衡，需满足以下条件：
$\overline{L}_1(w^ , z^ ) = \min {w \in W} {\overline{L}_1(w, z^ )}$ (9.71)
$\overline{L}_2(w^ , z^ ) = \min_{z \in Z} {\overline{L}_2(w^ , z)}$ (9.72)

使用成本矩阵 A 和 B ，纳什均衡条件可以写成： <