54、决策理论规划中的博弈策略解析

决策理论规划中的博弈策略解析

零和博弈中的鞍点问题

在零和博弈里，鞍点是一个关键概念。一个矩阵可能存在不止一个鞍点，虽然这看似会导致玩家之间的协调问题，但实际上，无论每个玩家选择哪个鞍点，最终获得的值都是相同的，所以不会产生问题。

例如，有这样一个矩阵博弈：
[
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 5 \
1 & -1 & 7 \
0 & -2 & 4
\end{array}
]
通过特定方法（如应用相关公式或参考特定图形），可以得出当 (u = 3) 且 (v = 3) 时存在鞍点，此时 (L^* = 4)。游戏结束后，双方玩家都不会有遗憾。玩家 P1 满意是因为在玩家 P2 选择第三列的情况下，4 是它能得到的最低成本；同样，在玩家 P1 选择最后一行时，4 是玩家 P2 能得到的最高成本。

要是一个游戏中存在多个鞍点，情况会怎样呢？如果有多个鞍点，那么至少会有四个。当我们尝试创建两个类似特定图形中的“+”模式时，它们会相交，从而产生四个鞍点。随着鞍点数量的增加，也会出现类似的情况。

比如下面这个游戏矩阵：
[
\begin{array}{ccccc}
4 & 3 & 5 & 1 & 2 \
-1 & 0 & -2 & 0 & -1 \
-4 & 1 & 4 & 3 & 5 \
-3 & 0 & -1 & 0 & -2 \