48、逻辑语言的转换与用例图的形式语义

逻辑语言的转换与用例图的形式语义

在逻辑和系统建模领域，逻辑语言的转换以及用例图的形式语义是重要的研究内容。下面将详细介绍相关的逻辑语言转换过程以及用例图的形式语义定义。

逻辑语言转换

在逻辑语言中，涉及到将一些复杂的公式进行转换和化简。例如，对于给定的公式，通过一系列的规则和方法将其转换为更简单的形式。

设 $y$ 是一个新变量，且 $y = (x ⊙φ_3) + φ_4$。可以发现，方程 (15) 的最小解等价于以下方程组最小解的 $x$ 分量：
[
\begin{cases}
x = φ_1[ [A]φ_2[(x ⊙φ_3) + φ_4]] \
y = (x ⊙φ_3) + φ_4
\end{cases}
]
同时，可将上述方程组重写为：
[
\begin{cases}
x = φ_1[ [A]φ_2[y]] \
y = (φ_1[ [A]φ_2[y]] ⊙φ_3) + φ_4
\end{cases}
]
进而可推导出上述方程组的最小解为 $(µx.φ_1[ [A]φ_2[µy.(φ_1[ [A]φ_2[y]] ⊙φ_3) + φ_4]], µy.(φ_1[ [A]φ_2[y]] ⊙φ_3) + φ_4)$。

通过反复应用规则 (7) - (14)，对于任意给定的公式 $φ ∈ cL^+_µ (Act)$，都可以将其重写为严格受保护的 $φ′$，使得 $φ ⇔ φ′$。

下面通过一个例子来说明具体的转换过程。
设 $φ = µx.⟨A⟩x + µy.[C]¬(⟨B⟩¬y + ¬x) ∨⟨