43、同质风险度量：理论与新型做市商构建

同质风险度量：理论与新型做市商构建

1. 风险度量与在线学习的联系

在市场做市领域，损失有界的凸风险度量与无遗憾的在线学习算法存在紧密联系。任何损失有界的凸风险度量都等同于一种无遗憾的在线正则化跟从领导者（Follow - the - Regularized - Leader）算法。这些在线学习算法通常在对偶空间中表示，而非以成本函数呈现。对偶空间的表示方法为解释和构建自动化做市商提供了强大的工具。

以概率单纯形 $\Pi$ 为例，任何凸风险度量都可以通过对跟从领导者项和凸正则化项进行凸优化来表示，即 $C(x) = \max_{y\in\Pi} x \cdot y - f(y)$，其中 $x \cdot y$ 是跟从领导者项，$f$ 是正则化项。

2. OPRS 成本函数

OPRS（Othman - Pennock - Reeves - Sandholm）成本函数最初作为 LMSR 的流动性敏感扩展被提出。其定义为 $C(x) = b(x) \log (\sum_{i} \exp(x_i/b(x)))$，其中 $b(x) = \alpha \sum_{i} x_i$（$\alpha > 0$），与 LMSR 不同，OPRS 仅在非负象限定义（为保证连续性，可设 $C(0) = 0$），且价格总和始终大于 1。

OPRS 具有多个理想特性：
- 简洁的解析闭式和与结果无关的利润。
- 对于某些最终数量向量，无论实际结果如何都能获利。
- 最重要的是，它具有尺度不变的流动性敏感性，即不同市场活动规模下价格反应一致。例如，在大型流动性市场中，一美元的投注对价格的影响远小于流动性较差的市场，而 LMSR 中