29、同时阻断节点和链接以控制感染

同时阻断节点和链接以控制感染

在网络安全和感染控制领域，如何有效地阻止感染在网络中传播是一个关键问题。本文将介绍一种混合广义网络安全模型MGNS(d)，并探讨其近似算法、不可近似性结果以及针对特定情况的精确多项式时间算法。

1. 相关问题：关键节点问题

关键节点问题是运筹学领域研究的一个相关问题。给定一个节点加权图 $G = (V, E)$，每对节点 ${u, v} \in V^2$ 有连接成本 $c(u, v)$，以及参数 $K$，目标是找到一个节点子集，其总权重不超过 $K$，使得所有连接节点对的总连接成本最小。这个问题与 $MGNS(\infty)$ 类似，但有额外的预算约束和更一般的成本函数。该问题在一般图（单位成本和单位权重）以及树（单位权重）上是NP完全的。对于树中单位成本的情况，已有算法能在 $O(n^7)$ 时间内解决，而本文针对树的多项式时间算法将结果推广到所有固定的 $d$。

2. MGNS(d) 的近似算法

由于计算 $MGNS(d)$ 的最优解是NP难问题，因此我们关注近似算法，并得到以下结果：
- 定理1 ：对于任何 $d \geq 1$，存在一个多项式时间 $(d + 1)$ - 近似算法来计算 $MGNS(d)$ 的社会最优解。
- 定理2 ：存在一个多项式时间 $O(\log n)$ - 近似算法来计算 $MGNS(\infty)$ 的社会最优解。
- 定理3 ：对于二分接触图的 $MGNS(1)$，存在一个多项式时间 $\frac{3}{2}$ - 近似算法来计算社会最优解。