2、潜在博弈中不确定性的雪球效应分析

潜在博弈中不确定性的雪球效应分析

1. 扰动模型的上下界

在某些场景中，顶点感知到的各颜色邻居数量存在自然的不确定性。这里采用扰动模型，假设顶点 $i$ 有 $n’$ 个某种颜色的邻居，那么扰动可能使 $i$ 感知到的数量变为 $[\frac{1}{1 + \epsilon}n’, (1 + \epsilon)n’]$ 内的任意整数。由于每个动作的成本是其他颜色邻居的数量，所以这是一个成本扰动模型。在这个模型中，只有当 $\epsilon = \Omega(\frac{1}{n})$ 时，才会有效地引入不确定性，并且这里假设 $\epsilon \leq 1$。

• 定理 1 ：对于 $\epsilon = \Omega(n^{-\frac{1}{3}})$，即使玩家更新顺序任意，$PoU(\epsilon, consensus) = \Omega(n^2\epsilon^3)$。

  • 证明思路 ：假设对手可以选择每一步更新的玩家。构造包含三个组件：
    • 输出组件 ：有 $k_{out} = \Theta(\frac{1}{\epsilon}(\log n - 2\log\frac{1}{\epsilon}))$ 层，第 $i \geq 0$ 层有 $\frac{1}{\epsilon}(1 + \epsilon)^i$ 个节点，第 $i \geq 1$ 层的每个节点与 $i - 1$ 层和 $i + 1$ 层的所有节点相连。
    • 输入组件