11、非线性系统稳定性分析与控制设计

非线性系统稳定性分析与控制设计

1. 引言

在控制系统设计中，稳定性分析是至关重要的环节。对于非线性系统，其稳定性分析和控制器设计往往更为复杂。本文将深入探讨非线性系统的稳定性分析方法以及基于李雅普诺夫（Lyapunov）技术的控制器设计，同时介绍一些相关的扩展定理和实际应用案例。

2. 李雅普诺夫技术在控制器设计中的应用

2.1 基本原理

对于形如 $\dot{x}= f(x) + g(x)u$ 的系统，可通过选择合适的李雅普诺夫函数候选 $L(x) > 0$，并沿系统轨迹求导得到 $\dot{L}(x) = \frac{\partial L}{\partial x} \dot{x} = \frac{\partial L}{\partial x} [f(x) + g(x)u]$。通常，通过适当选择 $u(t)$ 可确保 $\dot{L} \leq 0$，从而得到状态反馈形式的控制器，即 $u (t)$ 是状态 $x (t)$ 的函数。

2.2 含不连续函数系统的控制器设计

实际系统中常包含不连续函数，如符号函数：
- 对于标量 $x \in \mathbb{R}$，符号函数定义为 $sgn(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0 \ -1, & x < 0 \end{cases}$。
- 对于向量 $x = [x_1 x_2 \cdots x_n]^T \in \mathbb{R}^n$，$sgn(x) = [sgn(x_i)]$。

这些不连续函数的存在使得输入 - 输出反馈线性化方法难以应用，因为该方法需要进行求