2、拓扑优化中的p - 细化方法研究

拓扑优化中的p - 细化方法研究

1. 有限元分析基础

拓扑优化旨在通过设计变量在设计域内实现相对密度图的优化分布，以获得节点位移或应力等状态变量。在离散化过程中，采用四边形单元的非协调体素网格对域进行划分，使用的四边形单元包括4节点、8节点和9节点单元。

对于SIMP模型，假设线性各向同性弹性材料发生小应变位移，杨氏模量 $E$ 与相对密度 $\rho_e$ 的关系为：
$E(\rho) = E_{min} + (\rho)^p \times (E^0 - E_{min})$

从应变能推导每个单元的刚度矩阵，表达式如下：
$U^e = \frac{1}{2} \int_{\Omega_e} {\sigma^e}^t {\epsilon^e} dV = \sum_{e} \frac{1}{2} \int_{\Omega_e} {\sigma^e}^t {\epsilon^e} t dA = \sum_{e} \frac{1}{2} \int_{\xi} \int_{\eta} {\sigma^e}^t {\epsilon^e} Jt d\eta d\xi$

其中，${\sigma^e} = [D]{\epsilon^e} = [D][B]{q^e}$，$[B] = [B] (\xi, \eta) =
\begin{bmatrix}
N_{1,\xi} & 0 & N_{2,\xi} & 0 & \cdots & N_{n,\xi} & 0 \
0 & N_{1,\eta} & 0 & N_{2,\eta} & \cdots & 0