36、工业系统中的数学基础与稳定性分析

工业系统中的数学基础与稳定性分析

1. 数学符号与定义

1.1 基本数学符号

在数学分析中，我们会用到一些特定的符号来表示不同的数集和矩阵运算。
- $\Re$ 表示实数域，$\Re^{m×n}$ 表示 $m$ 行 $n$ 列的实矩阵集合。
- $\Re^+$ 表示非负实数集。
- $C$ 表示复数域，$\hat{C} = {s \in C : \Re(s) < 0}$，$C = {s \in C : \Re(s) \leq 0}$。
- 向量 $x$ 和矩阵 $M$ 的转置分别表示为 $x^T$ 和 $M^T$。若矩阵 $M \in \Re^{n×n}$ 满足 $M = M^T$，则称其为对称矩阵。
- 对于矩阵 $M \in \Re^{m×n}$，$M[i : j, k : l]$ 表示从矩阵 $M$ 中提取第 $i$ 行到第 $j$ 行，第 $k$ 列到第 $l$ 列所构成的 $(j - i + 1)×(l - k + 1)$ 维矩阵，其中 $m \geq j \geq i \geq 1$，$n \geq k \geq l \geq 1$。
- $I_m$ 表示 $m$ 维单位矩阵，$I_m \in \Re^{m×m}$。
- $\lambda_i(M)$ 表示矩阵 $M \in \Re^{n×n}$ 的第 $i$ 个特征值，$i = 1, \cdots, n$，矩阵 $M$ 的谱表示为 $S(M) = {\lambda_1(M), \cdots, \lambda_n(M)}$。

1.2 矩阵的正定性与稳定性定义

• 正定性定义