Delaunay 三角网的逐点插入法及其在 Matlab 中的实现

Delaunay 三角网是计算几何中一种常用的数据结构，用于在给定的点集上进行三角剖分。逐点插入法是一种构建 Delaunay 三角网的方法，它逐步地将点一个一个地插入到已有的三角网中，以保持 Delaunay 条件的满足。本文将介绍逐点插入法的原理，并提供在 Matlab 中实现的代码示例。

原理

逐点插入法的基本思想是将每个新点插入到已有的三角网中，然后根据 Delaunay 条件进行调整，以保持网格的质量。Delaunay 条件要求三角网的每个三角形的外接圆不包含任何其他点。通过逐步插入点并进行调整，最终形成一个满足 Delaunay 条件的三角网。

逐点插入法的算法步骤如下：

1. 初始化：将前三个点构建成一个初始的三角形，并将其加入到三角网中。
2. 逐点插入：对于每个新点，找到其在当前三角网中所属的三角形。然后，将该点与三角形的顶点连接，形成三条新边，并将新边加入到边集中。
3. 边翻转：遍历边集中的每条边，检查其是否需要翻转。如果边需要翻转，则进行翻转操作，并更新相应的三角形信息。
4. 删除非法三角形：遍历三角网中的每个三角形，检查其外接圆是否包含其他点。如果包含，则删除该三角形，并将其边加入到边集中。
5. 重复步骤2至4，直到插入所有的点为止。