17、量子态空间的几何结构与模型探索

量子态空间的几何结构与模型探索

1. 量子比特的布洛赫球模型

量子比特的混合态集合构成了布洛赫球，纯态位于球的边界，最大混合态 $\rho^* = \frac{1}{2}I$ 位于球心。布洛赫向量（或相干向量）$\vec{\tau}$ 用于描述量子态，若 $\vec{\tau} = 0$，则为最大混合态；纯态由投影算符表示，即 $\rho = \rho^2$。

为确保 $\text{Tr}\rho = 1$ 且所有特征值非负，布洛赫向量的长度需满足 $||\vec{\tau}||^2 \leq 1$，这表明量子比特的态空间 $\mathcal{Q}_2$ 确实是一个实心球，其表面为布洛赫球面。

经典态集合 $\Delta_1$ 在这种情况下是一条线段，作为布洛赫球的一条直径位于球内。任意两个对易的投影算符可看作经典比特，它们位于布洛赫球的对跖点。为保证对跖点间的距离为 1，定义两个密度矩阵 $\rho_A$ 和 $\rho_B$ 之间的希尔伯特 - 施密特距离为：
[D_{HS}(\rho_A, \rho_B) = \sqrt{\frac{1}{2}\text{Tr}[(\rho_A - \rho_B)^2]}]
在布洛赫向量提供的笛卡尔坐标系中，该距离可表示为：
[D_{HS}[\rho_A, \rho_B] = \sqrt{\sum_{i = 1}^{3}(\tau_{A_i} - \tau_{B_i})^2} = ||\vec{\tau}_A - \vec{\tau}_B||]
这是欧几里得距离的概念。

2. 量子态空间 $\mathcal{Q}_N$ 的性质

当 $N > 2$ 时，