欧氏空间内积定义_量子力学杂谈——Fock空间

一、希尔伯特空间的直和和直积

对于有限维空间的直和和直积（或称张量积）我们不陌生，而在无穷维空间中，这也容易推广，当然我们得考虑新的空间中的内积，以及新空间关于此内积的完备性。

对于有限个空间的直和，考虑

容易想到，新内积为

如果我们把直和的数量推广至可数个，那么需要限制

那么由柯西不等式，可保证内积存在

对于直积，我们只能考虑有限个空间的直积，因为无穷元函数并不好定义，而

是由多重线性映射

构成的线性空间的子空间，需要满足 2范数有限，即

自然定义

并由柯西不等式保证内积存在。

我们通常用到的是2范数有限的张量，即

（乘方表示笛卡尔积），且

，如同有限维记作

型

张量，

表示2范数有限，括号区别算子范数，因为算子是

型张量。

考虑一组向量的直积

，易知（实际上这就是向量直积的定义）

这里涉及到纠缠态的问题，实际上纠缠态就是不能写成直积的态，但总可以写成直积的和，这么看来纠缠态反而应该是主流的。但大量粒子合在一起时会发生退相干，使得纠缠态退化为直积态，这也是目前量子比特难以制成的原因。

二、Fock空间的构造

一个n粒子态由一个

型完全对称或反对称张量表示：

其中

是

的一个置换，而

为此置换的逆序数（也可以看作此置换可拆分为对换的个数）。

对于任何

型张量，可以考虑其对称和反对称化：

其中对称

张量表示一个n粒子玻色子态，记作

；反对称的

张量表示一个n粒子费米子态，记作

。

那么

就分别构成了玻色子和费米子的Fock空间。

我们定义粒子数算子

，这样n粒子态的全体就构成了粒子数算子的特征子空间。

三、产生与湮灭算子

一般书上的产生与湮灭算子实际上是一组基底的产生与湮灭算子，实际上任何一个态，不管它是否作为基底考虑，都可以对应一个产生与湮灭算子。

我们要求产生算子把n粒子态变为(n+1)粒子态，而湮灭算子相反，并把无粒子态（即真空）湮灭为0向量

。而最自然地改变张量类型的方法就是张量积和缩并，所以我们定义：

它们满足对易关系：

或者反对易关系：

一般书上的产生湮灭算子是其特例

，其中

是一组单粒子空间的正交归一基，而通常的对易关系，可由上面的一般对易关系和正交归一基的定义得出。

四、玻色子的相干态

对于玻色子单粒子态

,定义其相干态：

其中

表示n个

的直积，显然它是对称的，于是这的确是一个玻色子态， 对于任何玻色子态

，总有：

那么我们就可以把任何一个Fock空间中的态对应到一个单粒子对偶空间上的解析泛函。

五、希尔伯特空间的外代数

外代数的内积要求满足

这个内积和张量的内积差了个

的因子，实际上一个n阶完全反对称张量

，对它的任何非0分量，可以做一次置换，保持不变或改变负号，而内积中出现两个张量，于是负号抵消，这个分量在内积中重复运算了

次从而可以去除掉。

重新定义

我们使用一套新记号与原记号做区别，由外积定义：

从而

，刚好

，于是

。

对于一般的Fock态，其内积定义为各n粒子分量内积之和，此时

不断压低大量粒子分量，使得原来一些范数不收敛的情况变得收敛，也就是说外代数实际上是比费米子的Fock空间更大的，而

比

也更弱。

而

则保证了

从而使得外代数的外积关于范数连续，使外代数成为一个巴拿赫代数（由于此范数由内积给出，也可称为希尔伯特代数）。

在量子场论中，我们对费米子做路径积分时用到了Grassmann数，而外代数就是一种Grassmann数具体化的方法，而其中Grassmann数的生成元可以看作是单粒子空间的一组基，函数可以看作一个一般的外代数元素，而对函数的积分满足

，这并不是通常意义的积分，叫做Berezin积分，它可以用外代数的内乘（interior product）来解释。注意内积的英文是 inner product。

而内乘需要用到对偶向量，

，一般外代数是定义在

型张量的空间中，然后用一个向量做内乘，本文为了对比外代数和费米子的Fock空间，使用了

型张量。当然有了内积后，向量和对偶向量是通的，不会造成多大问题。

而Berezin积分的真实意思是

，这里*号表示按内积取得对偶，而不是Hodge对偶。