13、逆运动学算法详解与比较

逆运动学算法详解与比较

1. 雅可比转置算法特性

雅可比转置算法在特定条件下会陷入困境。当矩阵 $K$ 为对角阵且元素相等，若期望位置处于结构平面与腕点交点的法线方向上，该算法就会停滞。这是因为 $N(J^T_P)$ 的方向与结构平面的正交方向一致。不过，若规定路径在奇异点处结构平面内有非零分量，算法就能确保收敛，因为此时 $K e \notin N(J^T_P)$。总体而言，基于雅可比转置计算的算法是一种计算高效的逆运动学方法，可用于穿越运动学奇异点的路径。

2. 方向误差的不同表示

逆运动学算法通常基于操作空间中定义的误差变量（位置和方向）来使用解析雅可比矩阵。
- 位置误差 ：表达式为 $e_P = p_d - p_e(q)$，其时间导数为 $\dot{e}_P = \dot{p}_d - \dot{p}_e$。其中，$p_d$ 和 $p_e$ 分别表示期望和计算得到的末端执行器位置。
- 方向误差 ：其表达式取决于末端执行器方向的具体表示方式，主要有欧拉角、轴角和单位四元数三种。
- 欧拉角 ：方向误差定义为 $e_O = \varphi_d - \varphi_e(q)$，时间导数为 $\dot{e}_O = \dot{\varphi}_d - \dot{\varphi}_e$。在既无运动学奇异点也无表示奇异点的假设下，非冗余机械臂的雅可比逆解为 $\dot{q} = J^{-1}_A(q) \begin{bmatrix} \dot{p}_d + K_P e_P \ \dot{\varphi}_d + K_O e_O \en